Úloha 2.1: Permutácia phi
Posted: Fri Oct 04, 2013 7:55 pm
Úloha 2.1. Nájdite najmenšie kladné prirodzené číslo $n$ také, že $\varphi^n = id$, ak $\varphi = \begin{pmatrix} 1& 2& 3& 4& 5& 6& \\ 1& 3& 5& 6& 2& 4& \end{pmatrix} $ . Vypočítajte aj $\varphi^{-1}$.
Vo vyššie uvedenej permutácii (nie som si istý, či je to permutácia ak nebola explicitne určená množina $M$) sa nachádzajú nasledovné cykly:
$1 \to 1$
$ 2 \to 3 \to 5 \to 2$
$ 4 \to 6 \to 4 $
Z ich dĺžok je zrejmé, že pre $n = 6$ už bude výraz $\varphi^n$ identita.
Pre zaujímavosť, takto by vyzeral postupný výpočet:
1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 3, 5, 6, 2, 4
1, 5, 2, 4, 3, 6
1, 2, 3, 6, 5, 4
1, 3, 5, 4, 2, 6
1, 5, 2, 6, 3, 4
1, 2, 3, 4, 5, 6
Pre inverzné zobrazenie $\varphi^-1$ platí
$\varphi^{-1} = \begin{pmatrix} 1& 2& 3& 4& 5& 6& \\ 1& 5& 2& 6& 3& 4& \end{pmatrix} $
Vo vyššie uvedenej permutácii (nie som si istý, či je to permutácia ak nebola explicitne určená množina $M$) sa nachádzajú nasledovné cykly:
$1 \to 1$
$ 2 \to 3 \to 5 \to 2$
$ 4 \to 6 \to 4 $
Z ich dĺžok je zrejmé, že pre $n = 6$ už bude výraz $\varphi^n$ identita.
Pre zaujímavosť, takto by vyzeral postupný výpočet:
1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 3, 5, 6, 2, 4
1, 5, 2, 4, 3, 6
1, 2, 3, 6, 5, 4
1, 3, 5, 4, 2, 6
1, 5, 2, 6, 3, 4
1, 2, 3, 4, 5, 6
Pre inverzné zobrazenie $\varphi^-1$ platí
$\varphi^{-1} = \begin{pmatrix} 1& 2& 3& 4& 5& 6& \\ 1& 5& 2& 6& 3& 4& \end{pmatrix} $