msleziak.com

Úloha 2.4. Overte, či množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.

Aby $(\mathbb R, *)$ s operáciou $a\ast b=a+b-1$ bola grupa, musí spĺňať 4 vlastnosti.

1. binárna operácia: $a*b$ je definovaná na $\mathbb R$ a obsahuje len sčítanie $a+b$ a odčítanie -1, preto výsledok môže byť tiež len z $\mathbb R$ - splnená

2. asociativita: $(a*b)*c = a*(b*c)$ - ako pomôcka môže poslúžiť, ak si pri úprave predstavíme operáciu s inými prvkami $x\ast y=x+y-1$ a upravujeme podľa toho. Ak to bude nutné, pridám sem obrázok (viacriadkový text, aký by som potreboval, sem zatiaľ veľmi neviem písať )
$(a*b)*c = (a+b-1)*c = a+b-1+c-1 = a+b+c-2$
$a*(b*c) = a*(b+c-1) = a+b+c-1-1 = a+b+c-2$

Operácia je asociatívna.

3. Neutrálny prvok
$a*e=a$
$a+e-1=a$
$e = 1$ pričom $1 \in \mathbb R$ - takže neut. prvok je 1 (platí aj $e*a=a$ pretože sčítanie je komutatívne)

4. Inverzný prvok
IP $a^-1$ (a na mínus prvú) označím ako $a^i$, lebo neviem napísať aj mínus, aj 1 do exponentu, aby to bolo prehľadné

EDIT (M.Sleziak): Nahradil som všade $a^i$ zápisom $a^{-1}$.

$a*a^{-1} =e$
$a+a^{-1}-1=1$
$a^{-1}=2-a$ a taký prvok tiež patrí do $\mathbb R$ (platí aj $a^{-1}*a=e$ pretože sčítanie je komutatívne)

Keďže sú všetky 4 podmienky splnené, množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.

IP a−1 (a na mínus prvú) označím ako $a^{i}$, lebo neviem napísať aj mínus, aj 1 do exponentu, aby to bolo prehľadné

V TeX-u by malo fungovať čosi ako a^{-1} ($a^{-1}$), teda všetko, čo je v množinových zátvorkách bude interpretované ako súčasť exponentu.

mareksuppa wrote:

IP a−1 (a na mínus prvú) označím ako $a^{i}$, lebo neviem napísať aj mínus, aj 1 do exponentu, aby to bolo prehľadné

V TeX-u by malo fungovať čosi ako a^{-1} ($a^{-1}$), teda všetko, čo je v množinových zátvorkách bude interpretované ako súčasť exponentu.

Ah, ďakujem, ja som skúšal len klasické ( )! Teraz to zatiaľ nechám tak, ako to tam je.

Riešenie je ok (značím si 1 bod).

Využijem ale to, že tu mám zadanie úlohy na to, aby som ukázal iné riešenie a popritom zaviedol nejaký nový koncept.

Skúsme najprv začať ale s iným príkladom, kde to je jednoduchšie. Pozrime sa na tieto dve tabuľky operácií:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\oplus & 0 & 1 & 2 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 \\\hline
1 & 1 & 2 & 0 \\\hline
2 & 2 & 0 & 1 \\\hline
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\ast & a & b & c \\ \hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & c & a \\\hline
c & c & a & b \\\hline
\end{array}
$$

Ľahko si všimnete, že tieto dve tabuľky sú "v podstate rovnaké" v tom zmysle, že sme iba premenovali prvky $0\mapsto a$, $1\mapsto b$, $2\mapsto c$.
Navyše prvá tabuľka je pre nás známa - je to presne operácia $\oplus$, t.j. sčitovanie modulo 3, na množine $\mathbb Z_3=\{0,1,2\}$. O $(\mathbb Z_3,\oplus)$ vieme, že to je grupa. Teda táto operácia je asociatívna, má neutrálny prvok, atď. Potom ale tieto vlastnosti musí mať aj operácia $\ast$ z druhej tabuľky. (Stačí si uvedomiť, že vlastnosti operácie nijako nezávisia od toho, ako sú pomenované prvky množiny, len od toho aké dáva táto operácia výsledky.)

Pokúsme sa povedať trochu formálnejšie, čo znamená "v podstate rovnaké". Ide o to, že máme nejakú bijekciu medzi našimi dvoma množinami, nazvime ju $f\colon \mathbb Z_3 \to \{a,b,c\}$. (Táto bijekcia zodpovedá tomu, že sme tieto prvky nejako premenovali, čiže f zobrazuje 0 na a, 1 na b, 2 na c.) A táto bijekcia má takú vlastnosť, že
$$f(x\oplus y)=f(x)\ast f(y),$$
pre ľubovoľné $x,y\in\mathbb Z_3$.
Táto vlastnosť nám hovorí to, že ak si vezmeme dva prvky, pozrieme sa na im zodpovedajúce prvky v druhej tabuľke, tak výsledok je presne to, čo vzniklo premenovaním výsledku, ktorý vyšiel v prvej tabuľke.

Pojem, ktorý sme tu popísali (zobrazenie, ktoré je bijekciou a spĺňa uvedenú podmienku), sa zvykne nazývať izomorfizmus a ešte sa s veľmi podobnou situáciou stretneme viackrát. (Tento semester pri vektorových priestoroch, budúci semester budeme hovoriť o izomorfizmoch grúp a okruhov.)
Na tomto mieste ale stačí uvedomiť si túto základnú myšlienku, že operácia, ktoré sú "v podstate rovnaké", budú mať rovnaké vlastnosti. (Predošlé dva odseky som venoval tomu, že som sa snažil povedať, čo sa tu myslí pod pomenovaním "v podstate rovnaké", resp. pod honosnejšie znejúcim názvom izomorfné.)

Ako to súvisí s touto úlohou?
Ak si zoberieme grupu $(\mathbb R,+)$ a množinu $\mathbb R$ s operáciou $a\ast b=a+b-1$ a zadefinujeme zobrazenie $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ predpisom $f(a)=a+1$, tak toto zobrazenie je bijekcia a spĺňa
$$f(a+b)=a+b+1=(a+1)+(b+1)-1=f(a\ast b).$$
Teda na základe úvah, ktoré sme uviedli predtým, vidíme, že operácia $\ast$ má rovnaké vlastnosti ako operácia $+$. Keďže $(\mathbb R,+)$ je grupa, tak aj $(\mathbb R,\ast)$ je grupa.

Podobne na cviku sme dokázali, že $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$ je grupa. Nechám na vás, aby ste si skúsili rozmyslieť, či by sme vedeli ukázať, že je to "rovnaká" grupa ako $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$ (t.j. že tieto dve grupy sú izomorfné). Tým dostaneme vlastne iný dôkaz toho, že to skutočne je grupa.

Nevýhoda takéhoto riešenia je, že sme museli "uhádnuť" zobrazenie $f$. S trochou praxe sa to však často dá, aspoň v nejakých jednoduchých príkladoch. Každopádne by som vám odporúčal prerátať si aspoň pár príkladov tak, že skutočne overíte podmienky z definície grupy, aj ak viete uhádnuť vhodný izomorfizmus.