Úloha 2.4 Grupa (R, *) a*b = a+b-1
Posted: Fri Oct 04, 2013 8:21 pm
Úloha 2.4. Overte, či množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.
Aby $(\mathbb R, *)$ s operáciou $a\ast b=a+b-1$ bola grupa, musí spĺňať 4 vlastnosti.
1. binárna operácia: $a*b$ je definovaná na $\mathbb R$ a obsahuje len sčítanie $a+b$ a odčítanie -1, preto výsledok môže byť tiež len z $\mathbb R$ - splnená
2. asociativita: $(a*b)*c = a*(b*c)$ - ako pomôcka môže poslúžiť, ak si pri úprave predstavíme operáciu s inými prvkami $x\ast y=x+y-1$ a upravujeme podľa toho. Ak to bude nutné, pridám sem obrázok (viacriadkový text, aký by som potreboval, sem zatiaľ veľmi neviem písať
)
$(a*b)*c = (a+b-1)*c = a+b-1+c-1 = a+b+c-2$
$a*(b*c) = a*(b+c-1) = a+b+c-1-1 = a+b+c-2$
Operácia je asociatívna.
3. Neutrálny prvok
$a*e=a$
$a+e-1=a$
$e = 1$ pričom $1 \in \mathbb R$ - takže neut. prvok je 1 (platí aj $e*a=a$ pretože sčítanie je komutatívne)
4. Inverzný prvok
IP $a^-1$ (a na mínus prvú) označím ako $a^i$, lebo neviem napísať aj mínus, aj 1 do exponentu, aby to bolo prehľadné
EDIT (M.Sleziak): Nahradil som všade $a^i$ zápisom $a^{-1}$.
$a*a^{-1} =e$
$a+a^{-1}-1=1$
$a^{-1}=2-a$ a taký prvok tiež patrí do $\mathbb R$ (platí aj $a^{-1}*a=e$ pretože sčítanie je komutatívne)
Keďže sú všetky 4 podmienky splnené, množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.
Aby $(\mathbb R, *)$ s operáciou $a\ast b=a+b-1$ bola grupa, musí spĺňať 4 vlastnosti.
1. binárna operácia: $a*b$ je definovaná na $\mathbb R$ a obsahuje len sčítanie $a+b$ a odčítanie -1, preto výsledok môže byť tiež len z $\mathbb R$ - splnená
2. asociativita: $(a*b)*c = a*(b*c)$ - ako pomôcka môže poslúžiť, ak si pri úprave predstavíme operáciu s inými prvkami $x\ast y=x+y-1$ a upravujeme podľa toho. Ak to bude nutné, pridám sem obrázok (viacriadkový text, aký by som potreboval, sem zatiaľ veľmi neviem písať
![Wink ;)](./images/smilies/icon_e_wink.gif)
$(a*b)*c = (a+b-1)*c = a+b-1+c-1 = a+b+c-2$
$a*(b*c) = a*(b+c-1) = a+b+c-1-1 = a+b+c-2$
Operácia je asociatívna.
3. Neutrálny prvok
$a*e=a$
$a+e-1=a$
$e = 1$ pričom $1 \in \mathbb R$ - takže neut. prvok je 1 (platí aj $e*a=a$ pretože sčítanie je komutatívne)
4. Inverzný prvok
IP $a^-1$ (a na mínus prvú) označím ako $a^i$, lebo neviem napísať aj mínus, aj 1 do exponentu, aby to bolo prehľadné
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_e_biggrin.gif)
EDIT (M.Sleziak): Nahradil som všade $a^i$ zápisom $a^{-1}$.
$a*a^{-1} =e$
$a+a^{-1}-1=1$
$a^{-1}=2-a$ a taký prvok tiež patrí do $\mathbb R$ (platí aj $a^{-1}*a=e$ pretože sčítanie je komutatívne)
Keďže sú všetky 4 podmienky splnené, množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.