Úloha 2.2. Binárna Asociatívna operácia

[Rabatin]

Úloha 2.2. Ak viete, že ide o~tabuľku asociatívnej binárnej operácie, doplňte chýbajúce výsledky (ak sa to dá).\\
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & & & \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$

Namiesto operácie $a*b$ budem písať len $ab$.

Vieme, že:

$$
aa=b\\
ba=a\\
ca=c\\
$$

Chceme vyjadriť $cc$. Dosadime $c=ca$, teda dostaneme $cc=c(ac) \Rightarrow c=ac$.
Z asociativity vieme:$(ba)c=b(ac)$.
Dosadim$c=ac$ a teda: $ac=bc \Rightarrow a=b$
Platí to? Idem na to správne?

[Martin Sleziak]

Chceme vyjadriť $cc$. Dosadime $c=ca$, teda dostaneme $cc=c(ac) \Rightarrow c=ac$.

Nenapísali ste zdôvodnenie - prečo si myslíte, že z $cc=c(ac)$ už nutne vyplýva $c=ac$?
Ak ste chceli použiť implikáciu $cx=cy \Rightarrow x=y$, tak zatiaľ nevieme, či táto implikácia platí. (Učili sme sa o zákonoch o krátení, na prednáške sme však dokázali, že tie platia v grupe. V zadaní nemáme nič o tom, že by množina, s ktorou pracujeme, bola grupa. Snáď priveľa neprezradím, keď poviem, že $ax=ay \Rightarrow x=y$ by sme použiť mohli - ale nechám na vás, aby ste odôvodnili, prečo táto vec platí; v prípade, že ju budete chcieť niekde použiť.)

Z asociativity vieme:$(ba)c=b(ac)$.
Dosadim$c=ac$ a teda: $ac=bc \Rightarrow a=b$

Priznám sa, že tomuto som neporozumel.

Platí to? Idem na to správne?

Ale v princípe sa dá povedať, že na to idete správne - treba skúšať nejako využiť veci, ktoré máme zadané (prvý riadok tabuľky) a asociatívny zákon.

[Rabatin]

Nenapísali ste zdôvodnenie - prečo si myslíte, že z $cc=c(ac)$ už nutne vyplýva $c=ac$?
Ak ste chceli použiť implikáciu $cx=cy \Rightarrow x=y$, tak zatiaľ nevieme, či táto implikácia platí. (Učili sme sa o zákonoch o krátení, na prednáške sme však dokázali, že tie platia v grupe. V zadaní nemáme nič o tom, že by množina, s ktorou pracujeme, bola grupa. Snáď priveľa neprezradím, keď poviem, že $ax=ay \Rightarrow x=y$ by sme použiť mohli - ale nechám na vás, aby ste odôvodnili, prečo táto vec platí; v prípade, že ju budete chcieť niekde použiť.)

Ak by platilo : $ax=ay \Rightarrow x=y$, tak potom $a$ je neutralny prvok a teda by sa prvy riadok tabulky mal zhodovat so zahlavim tabulky, co sa nezhoduje. Mylim sa?

[Rabatin]

Nenapísali ste zdôvodnenie - prečo si myslíte, že z $cc=c(ac)$ už nutne vyplýva $c=ac$?
Ak ste chceli použiť implikáciu $cx=cy \Rightarrow x=y$, tak zatiaľ nevieme, či táto implikácia platí. (Učili sme sa o zákonoch o krátení, na prednáške sme však dokázali, že tie platia v grupe. V zadaní nemáme nič o tom, že by množina, s ktorou pracujeme, bola grupa. Snáď priveľa neprezradím, keď poviem, že $ax=ay \Rightarrow x=y$ by sme použiť mohli - ale nechám na vás, aby ste odôvodnili, prečo táto vec platí; v prípade, že ju budete chcieť niekde použiť.)

Ak by platilo : $ax=ay \Rightarrow x=y$, tak potom $a$ je neutralny prvok a teda by sa prvy riadok tabulky mal zhodovat so zahlavim tabulky, co sa nezhoduje. Mylim sa?

[Martin Sleziak]

Ak by platilo : $ax=ay \Rightarrow x=y$, tak potom $a$ je neutralny prvok a teda by sa prvy riadok tabulky mal zhodovat so zahlavim tabulky, co sa nezhoduje. Mylim sa?

Toto nie je pravda. Napríklad v grupe (ako viete z prednášky) platia zákony o krátení, teda $ax=ay \Rightarrow x=y$ platí pre každé $a$, nielen pre neutrálny prvok.
V našom prípade vieme, že:
$aa=b$, $ab=a$, $ac=c$
Súčasne prvky a,b,c sú rôzne. (To som síce v zadaní nenapísal explicitne, ale snáď je to dostatočne jasné z toho, že sú napísané v rôznych stĺpcoch tabuľky.)
Kedy sa môže teda stať, že $ax=ay$?
Hodnota $ax$ môže byť $a$ jedene ak $x=b$. Teda ak $ax=ay=a$, tak máme $x=y=b$.
Podobne z $ax=ay=b$ dostaneme $x=y=a$.
Z $ax=ay=c$ vyplýva $x=y=c$.
Takže naozaj pre prvok $a$ platí implikácia $ax=ay \Rightarrow x=y$.

Alebo ešte inak: Táto implikácia je ekvivalentná s tým, že zobrazenie $x\mapsto ax$ je injektívne. Nuž a keď sa pozrieme na to, aké je to zobrazenie, tak vidíme, že $a\mapsto b$, $b\mapsto a$, $c\mapsto c$, čo je skutočne injektívne zobrazenie. (Takže opäť, iným spôsobom, sme zdôvodnili platnosť implikácie $ax=ay \Rightarrow x=y$.)

[Rabatin]

Vzdavam tuto ulohu. Prepacte, ze som to tu nenapisal skor.

[Martin Sleziak]

Vzdavam tuto ulohu. Prepacte, ze som to tu nenapisal skor.

Myslím, že to je viac-menej jasné ale pre istotu to explicitne napíšem: Znamená to, že úloha je voľná a môže ju skúsiť riešiť (a potenciálne získať body) niekto iný.

[JaroslavPetrucha]

Z toho, ze ide o asoc. operaciu vieme, ze $a*(a*b) = (a*a)*b$, cize $a*a = b*b = b$.
$a*(b*a) = (a*b)*a \rightarrow a*(b*a) = b$, jedina moznost, ako z $a*cosi$ dostaneme $b$ je teda, ked $b*a =a$.
Dalej: $(a*a)*c = a*(a*c) \rightarrow b*c = a*c = c$.

$a*(c*a) = (a*c)*a \rightarrow a*(c*a) = c*a$. Tu musime vyuzit narocnejsiu myslienku, a sice ze kedze ide o binarnu operaciu, $c*a$ je nejake pismenko (onacme d), pre ktore plati $a*d = d$, vidime, ze to plati len pre $c$, cize hladanym vinnikom je $c$. Rovnako $(b*c)*b = b*(c*b) \rightarrow c*b = b*(c*b)$, opat to plati len pre $c*b = c$.

Ako posledne musime teda zistit $c*c$. Ako na to? Vezmime si napriklad $c*(c*a) = (c*c)*a \rightarrow c*c = (c*c) * a$. Kebyze dosadime $c*c = a$, dostaneme spor $a = b$, ak $c*c = b$, dostaneme spor $b = a$, cize $c*c = c$.

Maly bonus, ak by sme zamenili $c = 0$, $b = 1$ a $a = 2$, zistime, ze vlastne ide o tabulku $\odot$ v $\mathbb{Z}_3$

Vyplnena tabulka:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & a & b & c \\\hline
c & c & c & c \\\hline
\end{array}
$$

[Martin Sleziak]

Úloha je vyriešená pekne, značím si 1 bod.

Maly bonus, ak by sme zamenili $c = 0$, $b = 1$ a $a = 2$, zistime, ze vlastne ide o tabulku $\odot$ v $\mathbb{Z}_3$

Je super, že ste napísali toto, lebo moja ďalšia otázka by bola, že či tabuľka, ktorá nám vyšla naozaj dáva asociatívnu operáciu. Keď vidíme, že to je násobenie v $\mathbb Z_3$, tak je naozaj asociatívna. (Dalo by sa to overiť aj z tabuľky skúšaním - keďže vždy, keď sa tam objaví $c$, tak aj výsledok je $c$, tak by sme dosť veľa z tých 27 možností vedeli vybaviť naraz, čiže je to zvládnuteľné. Ale keď si človek všimol, že to je len poprehadzované $\mathbb Z_3$, tak je to oveľa rýchlejšie.)

Poznámky k zápisu a prezentácii:

Ja by som začal tým, že by som na začiatok dal tabuľku zo zadania (aby ostatní nemuseli skrolovať o pár obrazoviek nahor, keď chcú vidieť odkiaľ viete, že $a*a=b$ a podobne). Takisto by sa občas dala doplniť priebežná tabuľka so zatiaľ známymi hodnotami (napríklad keď ste zistili všetky hodnoty v riadku $b$; alebo aj častejšie. Keď to človek píše v TeX-u a nie rukou, tak doplnenie tabuľky je minimálna námaha - skopírujem predošlú a doplním nové hodnoty.) Ľahšie sa takto aj sleduje riešenie - je človeku jasné, čo už vieme a ktoré hodnoty treba nájsť.

Nie je dobre dávať dve formuly tesne za seba, ako napríkad tu:

vieme, ze $a*(a*b) = (a*a)*b$, cize $a*a = b*b = b$. $a*(b*a) = (a*b)*a \rightarrow a*(b*a) = b$, jedina moznost, ako z $a*cosi$ dostaneme $b$ je

Je to síce oddelené bodkou ale nie každý si to musí všimnúť a môže ho to popliesť. Na oddelenie sa dá pridať nejaký text (aj keď trebárs iba vata) alebo dať to do nového odseku, na nový riadok, atď. (Toto som zeditoval - dal som tú ďalšiu rovnosť na nový riadok.)
Takáto rada je asi užitočná aj keď časom budete písať bakalárku, diplomovku alebo čokoľvek oficiálne.