Úloha 2.5 Asociativna grupa
Posted: Mon Oct 07, 2013 10:34 pm
Úloha 2.5. Nech $(G,\ast)$ je grupa. Dokážte, že pre ľubovoľné $x,y\in G$ existuje práve jedno $a$ také, že $x\ast a=y$. (Toto vlastne hovorí, že v tabuľke grupovej operácie sa v riadku $x$ vyskytne prvok $y$ práve raz.)
Pojdeme to dokazat sporom. Teda prv predpokladajme, ze existuje viac ako jeden takych $a$-cok. Inac povedane $y$ sa nachadza viackrat v tomto riadku. Teda plati:
$$x*a_1=y$$$$x*a_2=y$$.
Potom plati:
$$x*a_1=x*a_2$$
Pouzijeme pravidlo o krateni:
$$a_1=a_2$$
Co je spor s tym, ze existuje viac takych $a$-cok, pre ktore plati vyssie spomenute tvrdenie. Z toho vyplyva, ze prvok $y$ sa nachadza v riadku maximalne raz.
A teraz druha cast. Co ak neexisuje ziadne take $a$, pre ktore plati toto tvdenie. Inac povedane: V riadku $x$ sa nenachadza $y$. Potom existuje take $z$, ktore sa nachadza v tomto riadku dvakrat. Ale v predchadzajucom odstavci som dokazal, ze sa nemoze nachadza ziaden prvok v riadku dvakrat. Inac povedane neexistuje taky prvok $z$, ktory by sa nachadzal v tomto riadku dvakrat, cim sa dostavame k sporu. Z coho vyplyva, ze sa v tomto riadku nachadza prvok $y$ minimalne raz.
Ked spojime vysledky oboch odstavcov dokopy, tak dostaneme vyrok, ze prvok $y$ sa nachadza prave raz v tomto riadku.
Pojdeme to dokazat sporom. Teda prv predpokladajme, ze existuje viac ako jeden takych $a$-cok. Inac povedane $y$ sa nachadza viackrat v tomto riadku. Teda plati:
$$x*a_1=y$$$$x*a_2=y$$.
Potom plati:
$$x*a_1=x*a_2$$
Pouzijeme pravidlo o krateni:
$$a_1=a_2$$
Co je spor s tym, ze existuje viac takych $a$-cok, pre ktore plati vyssie spomenute tvrdenie. Z toho vyplyva, ze prvok $y$ sa nachadza v riadku maximalne raz.
A teraz druha cast. Co ak neexisuje ziadne take $a$, pre ktore plati toto tvdenie. Inac povedane: V riadku $x$ sa nenachadza $y$. Potom existuje take $z$, ktore sa nachadza v tomto riadku dvakrat. Ale v predchadzajucom odstavci som dokazal, ze sa nemoze nachadza ziaden prvok v riadku dvakrat. Inac povedane neexistuje taky prvok $z$, ktory by sa nachadzal v tomto riadku dvakrat, cim sa dostavame k sporu. Z coho vyplyva, ze sa v tomto riadku nachadza prvok $y$ minimalne raz.
Ked spojime vysledky oboch odstavcov dokopy, tak dostaneme vyrok, ze prvok $y$ sa nachadza prave raz v tomto riadku.