Prázdna množina $\emptyset$ vs. $\{\emptyset\}$

[Martin Sleziak]

Na minulom cviku ste sa pýtali, či $\emptyset$ a $\{\emptyset\}$ je tá istá množina.

Vysvetlili sme si, že nie. Vieme, že množiny sú rovnaké, ak obsahujú rovnaké prvky. Aby sme zdôvodnili, že sa nerovnajú, stačí teda nájsť niečo, čo patrí do jednej a nepatrí do druhej. Konkrétne máme $\emptyset\in\{\emptyset\}$ ale $\emptyset\notin\emptyset$. Teda $\emptyset$ je prvkom iba jednej z týchto množín, čo znamená, že tieto množina sa nerovnajú:
$$\emptyset\ne\{\emptyset\}.$$

Môžeme si tiež všimnúť, že $\emptyset\subseteq\{\emptyset\}$. (Prázdna množina je podmnožinou akejkoľvek množiny.)

Pridám pár liniek - skôr ako ukážku, že takáto otázka (alebo veľmi podobné otázky) sa objavujú dosť často:

• Set notation confusion (Empty Sets)
• Can a subset have 0 elements?
• Is $\emptyset \in \emptyset$ or $\emptyset \subseteq \emptyset$ ?
• Is $\emptyset={\{\emptyset\}}$?