msleziak.com

Úloha 3.3. Nech na množine $M=\{0,1\}$ sú operácie $+$ a $\cdot$ dané tabuľkami
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cc}
\cdot & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\end{array}
$$
Ukážte, že $(M,+)$ a $(M\setminus\{0\}, \cdot)$ sú komutatívne
grupy a že platí distributívny zákon $(a+b)c=ac+bc$. Je
$(M,+,\cdot)$ pole?

-------

$(M,+)$
1. Binárna operácia: vidno z tabuľky (nemôžeme dostať iné hodnoty ako 0, 1) $\rightarrow$ platí
2. Komutativita:
$a+b = b+a$
$0+1 = 1+0 \rightarrow 1=1 \rightarrow$ platí

3. Asociativita:
$(a+b)+c = a+(b+c)$

Pre $c = 0$:
$(0+1)+0=0+(1+0)$
$1+0=0+1 \rightarrow 1=1 \rightarrow$ platí

Pre $c = 1$:
$(0+1)+1=0+(1+1)$
$1+1=0+0 \rightarrow 0=0 \rightarrow$ platí, a zároveň tvrdím, že kvôli komutativite tu je už jasné, že to platí aj pre všetky možné kombinácie hodnôt a, b

4. Neutrálny prvok
$a+e = a$
$1+0 = 1$ a $0+0 = 0 \rightarrow e = 0$ (vďaka komutativite platí aj $e+a = a$)

5. Inverzný prvok
$a+a^{-1} = e$
$1+1 = 0$ a $0+0 = 0 \rightarrow a^{-1} = a$, inverzný sám k sebe. Všetky vlastnosti platia, teda $(M,+)$ je komutatívna grupa.

--------

$(M\setminus\{0\}, \cdot)$
Toto vlastne znamená, že pracujeme s jedinou hodnotou 1, ktorej výsledkom bude vždy 1 - z tabuľky. Preto len v skratke:
1. BO: platí (špeciálne dokonca nemôžeme dostať nič iné ako 1)
2. Kom.: $1.1 = 1.1 \rightarrow 1=1 \rightarrow$ platí
3. Asoc.: $1.(1.1) = (1.1).1 \rightarrow 1=1 \rightarrow$ platí
4. NP: $a.e = a \rightarrow 1.1 = 1 \rightarrow e=1$
5. IP: $a.a^{-1} = e \rightarrow 1.1 = 1 \rightarrow a^{-1} = a$, inverzný sám k sebe. Všetko platí, $(M\setminus\{0\}, \cdot)$ je KG.

--------

Platnosť distributívneho zákona $(a+b)c=ac+bc$:
Pre $c = 0$:
$(0+1).0 = 0.0 + 1.0$
$1.0 = 0+1$
$1 = 1 \rightarrow$ platí

Pre $c = 1$
$(0+1).1 = 0.1 + 1.1$
$1.1 = 0+1$
$1 = 1 \rightarrow$ platí

Znovu tvrdím, že na hodnotách a, b kvôli komutativite nezáleží a podstatné je násobenie c. Vychádza to, preto podľa mňa $(M,+,\cdot)$ je pole.

Zdôvodniť, že $(M,+)$ je grupa sa dalo aj tým, že to je presne grupa $(\mathbb Z_2,\oplus)$.

ErikVarga108 wrote: Vychádza to, preto podľa mňa $(M,+,\cdot)$ je pole.

Toto posledné už nie je pravda. (Ale uznám úlohu za 1 bod, keďže je už vyriešená skoro komplet.)

Treba si uvedomiť, že v definícii poľa sme mali dva distributívne zákony, aj $c(a+b)=ca+cb$. Ak to vyskúšame pre $c=1$, tak pri akejkoľvek voľbe $a$, $b$ dostaneme $1=1+1$, a teda distributívnosť neplatí.
Alebo si tiež môžeme spomenúť na to, že v poli vždy platí $0a=a0=0$ a v tabuľke násobenia máme aj hodnoty, ktoré to nespĺňajú.

Toto je dobré miesto na porovnanie dvoch definícií poľa, ktoré sme spomínali.
Pri jednej z nich sme mali podmienku, že $(F\setminus\{0\},\cdot)$ je grupa (čo zahŕňa ja komutatívnosť operácie $\cdot$, ale len na množine $F\setminus\{0\}$) a oba distributívne zákony.
Pri druhej z nich sme mali komutatívnosť násobenia pre všetky hodnoty (vrátane nuly). Potom už, samozrejme, stačí iba jeden distributívny zákon.

Tento príklad ukazuje, že pri našej definície nemôžeme jeden z distributívnych zákonov jeden vynechať - zmenilo by to definíciu.