DU1 - ZS 2013/14
Posted: Mon Oct 14, 2013 6:37 pm
$\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}$
V úlohe 2e si môžeme všimnúť, že zadanie implicitne využíva to, ze operácia symetrickej diferencie je asociatívna.
Môžeme napísať $A\triangle B\triangle (A\cap B)$ bez toho aby sme písali zátvorky - vieme, že akokoľvek tento výraz uzátvorkujeme, musí vyjsť to isté, čiže $(A\triangle B)\triangle (A\cap B)=A\triangle (B\triangle (A\cap B))$.
Jedno z riešení toho, či $((p\land q)\Ra r) \Lra (p\Ra (q\Ra r))$ je tautológia bolo takéto:
Správne dokončenie riešenia by bolo také, že sa pozrieme, kedy $(p\Ra (q\Ra r)) \equiv 0$. Je to jedine v prípade, že $p\equiv 1$ a $(q\Ra r)\equiv 0$; táto implikácia bude nepravdivá jedine ak $q\equiv1$ a $r\equiv 0$. (Na rozdiel od citovaného riešenia, tu sme skontrolovali, že toto je skutočne jediný prípad, keď pravá strana má pravdivostnú hodnotu 0.)
V úlohe 2e si môžeme všimnúť, že zadanie implicitne využíva to, ze operácia symetrickej diferencie je asociatívna.
Môžeme napísať $A\triangle B\triangle (A\cap B)$ bez toho aby sme písali zátvorky - vieme, že akokoľvek tento výraz uzátvorkujeme, musí vyjsť to isté, čiže $(A\triangle B)\triangle (A\cap B)=A\triangle (B\triangle (A\cap B))$.
Jedno z riešení toho, či $((p\land q)\Ra r) \Lra (p\Ra (q\Ra r))$ je tautológia bolo takéto:
Prvá časť tejto úvahy je ok - zistili sme, kedy je jediný prípad, že ľavá strana dokazovanej ekvivalencie je nepravdivá. Ale na to, aby sme sa presvedčili, že ie o ekvivalenciu, tak by sme mali skontrolovať, že to je jediný prípad, kedy dostaneme 0 na pravej strane. V skutočnosti to, čo je napísané v citovanom riešení, je len kontrola, že dostaneme 0 v prípade $p=q=1$, $r=0$, ale nič nehovorí o ostatných prípadoch.$((p\land q)\Ra r) = 0$ nastane v jedinom prípade. Ak $p\land q=1$ (čo znamená $p=1$ a $q=1$) a $r=0$.
Potom $(p\Ra (q\Ra r)) = (1\Ra (1\Ra 0)) = (1\Ra 0) = 0$.
Teda $0\Lra0$, ide o tautológiu.
Správne dokončenie riešenia by bolo také, že sa pozrieme, kedy $(p\Ra (q\Ra r)) \equiv 0$. Je to jedine v prípade, že $p\equiv 1$ a $(q\Ra r)\equiv 0$; táto implikácia bude nepravdivá jedine ak $q\equiv1$ a $r\equiv 0$. (Na rozdiel od citovaného riešenia, tu sme skontrolovali, že toto je skutočne jediný prípad, keď pravá strana má pravdivostnú hodnotu 0.)