msleziak.com

Na webe sa už objavila aj domáca úloha č. 6, kde sú príklady na vzor a obraz množiny. Úlohy takého typu sme zatiaľ cvičili len s jednou skupinou (skupina, ktorá má cviko v pondelok, ich bude mať na cvičení budúci týždeň). Na web som túto d.ú. zavesil už teraz - aby ľudia, ktorí to už majú prebraté, mohli riešiť d.ú. Termín je taký, že obe skupiny budú mať na odovzdanie čas aspoň dva týždne od cvičenia, kde sa to preberie/prebralo.

Len zopakujem, že označenie $f^{-1}\left[B\right]$ znamená vzor množiny $B$, nie jej obraz v inverznom zobrazení. (To som spomínal na prednáške, na dnešnom cviku a detailnejšie je to rozpísané aj tu na fóre.)

$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}(#2)}\newcommand{\Obr}[2]{#1[#2]}\newcommand{\sm}{\setminus}$Nejaké úlohy takéhoto typu som preriešil tu a niečo je aj v poznámkach k prednáške (dôkaz niektorých častí tvrdenia 3.2.13).

Niektoré chyby, ktoré sa vyskytli v riešeniach.

Podmienka $x\notin\Obr fB$ nie je ekvivalentná s $(\exists x)(x\notin B\land f(x)=y)$.
Mohli by sme ju prepísať napríklad takto: $x\notin\Obr fB$ $\Lra$ $\neg(\exists x\in B)(f(x)=y)$ $\Lra$ $(\forall x\in B)(f(x)\ne y)$.

Poznamenám dve veci:

• Ak sa v zadaní vyskytla podmienka, že $f$ je injektívne zobrazenie, a vy ste ju nikde v dôkaze nepoužili, tak by vám mal byť dôkaz aspoň trochu podozrivý. (Aj keď samozrejme je možné aj to, že v zadaní by bola chyba a táto podmienka tam nie je potrebná.)
• Pokiaľ ste si nie istý tým, ako zapísať dôkaz tvrdenia pomocou kvantifikátorov, nebojte sa použiť namiesto toho slovný popis. (Napríklad by ste mohli začať: Nech $y\in\Obr f{A\sm B}$. Chceli by sme ukázať, že $y\in \Obr fA \sm \Obr fB$, pričom sa budeme snažiť nejako využiť predpoklad, že $f$ je injekcia. To, že $y\in\Obr f{A\sm B}$ znamená, že existuje nejaké $x_1\in A\sm B$ také, že $f(x_1)=y$. Vidíme, že $x_1\in A$ a teda máme $y\in\Obr fA$. Zostáva nám teda ukázať, že $y\notin \Obr fB$. Môžeme to skúsiť dokázať sporom: Predpokladajme, že by to neplatilo, t.j. $y\in\Obr fB$, alebo ekvivalentne: existuje nejaké $x_2\in B$ také, že $f(x_2)=y$. Z toho, že $f$ je injekcia...)