msleziak.com

Nejaké poznámky k častým chybám v du2. V texte k prednáške nájdete nejaké
dôkazy takéhoto typu - konkrétne napríklad dôkaz tvrdenia 2.4.5(i).

Konečné a nekonečné systémy

Pri úlohách takéhoto typu je dôležité uvedomiť si rozdiel medzi tým, či dokazujeme niečo pre konečný systém množín alebo pre konečne veľa množín.

Vieme napríklad dokázať $(A_1\cup A_2)\cup(B_1\cup B_2)=(A_1\cup B_1)\cup(A_2\cup B_2)$ prepísaním podľa definície: Indukciou by sme vedeli toto tvrdenie rozšíriť na $(A_1\cup A_2 \cup \dots \cup A_n) \cup (B_1\cup B_2 \cup \dots \cup A_n)$ pre ľubovoľné prirodzene číslo $n$.
Tým sme vlastne dokázali $(\bigcup\limits_{i\in I} A_i)\cup(\bigcup\limits_{i\in I} B_i) = \bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)$ pre ľubovoľnú konečnú množinu $I$. (Každú konečnú množinu viem očíslovať číslami $1,2,\dots,n$ pre nejaké $n$.) To však nie je to, čo sme mali dokazovať - v zadaní úlohy išlo o dôkaz tohoto tvrdenia pre ľubovoľný systém, nie iba pre systémy pozostávajúce z konečne veľa množín.

Poznámky k zápisu

Tu vlastne len opakujem niečo, čo som už spomínal.

Medzi množinami píšeme rovnosť, inklúziu, množinové operácie a pod. Medzi výrokmi ekvivalenciu, implikáciu a ďalšie logické spojky.
Príklady správnych zápisov:
$$A\setminus B=\{x\in A; x\notin B\}\\
x\in A\setminus B \Leftrightarrow x\in A\land x\notin B
$$
Tento zápis je nesprávny: $A\setminus B=x\in A \land x\notin B$.
Tento zápis by sa snáď dal uznať: $x\in A\setminus B = x\in A\land x\notin B$. Medzi ekvivalentnými výrokmi je však oveľa bežnejšie písať $\Leftrightarrow$, $\equiv$ alebo $\leftrightarrow$.

Podobne namiesto $x\notin \bigcup_{i\in I} A_i$ môžeme písať $\neg (\exists i\in I) (x\in A_i)$, prípadne $\neg [(\exists i\in I) (x\in A_i)]$
ale zápis $x\notin (\exists i\in I) (x\in A_i)$ nie je správny. (Po symboloch $\in$, $\notin$ by mala nasledovať množina.)

Pokiaľ ste si nie istý tým, ako zapísať veci, možno je rozumnejšie rozpísať to slovne, ako použiť stručnejší zápis, ale nesprávny. (Čiže napísať niečo ako: Nech $x$ je ľubovoľný prvok množiny $A\setminus B$. To znamená, že platí $x\in A$ a $x\notin B$. To je ekvivalentné s tým, že...)

Prepísanie na výrok s kvantifikátormi

Výrok $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ môžeme prepísať ako $(\forall i\in I) x\in A_i$. Ak označím $Q(i)\equiv x\in A_i$, tak to môžem prepísať ako $(\forall i\in I) Q(i)$. V niektorých odovzdaných úlohách sa objavil zapis $(\forall x)Q(x)$, hoci kvantifikátory sa v skutočnosti vzťahovali na množinu $I$. (To v princípe nie je až taká veľká chyba, ale ak v tom istom dôkaze označujete dve rôzne veci ako $x$, môžete sa ľahko popliesť. Takže by bolo lepšie dodržať v oboch prípadoch označenie $i\in I$; t.j. pri operácii aj pri kvantifikátore.)

Nepatrí, negácia
Niektorí z vás ste prepísali výrok $x\notin\bigcap_{i\in I}B_i$ hneď do tvaru $ (\exists i\in I)x\notin B_i$. (Čo je úplne správne a je fajn, že hneď vidíte, že to je tak.) Keby sme chceli odvodiť detailnejšie, prečo to platí, tak si môžeme všimnúť, že tam vlastne negujeme výrok s kvantifikátorom.
$$x\notin\bigcap_{i\in I}B_i \Leftrightarrow \neg (x\in\bigcap_{i\in I}B_i) \Leftrightarrow \neg (\forall i\in I)x\in B_i \Leftrightarrow (\exists i\in I)x\notin B_i$$

Systém $\mathcal S=\{A_i;i\in I\}$
Niektorí z vás ste pri práci s $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$ používali to, že
$$x\in\bigcap\limits_{i\in I} A_i \Leftrightarrow (\forall A\in\mathcal S) x\in A,$$
pri označení $\mathcal S=\{A_i;i\in I\}$. To je síce pravda, ale trochu ste si tým (aspoň v niektorých úlohách) skomplikovali život. To isté sa dá zapísať ako
$$x\in\bigcap\limits_{i\in I} A_i \Leftrightarrow (\forall i\in I) x\in A_i.$$
Analogická poznámka samozrejme platí aj pre prienik.

Ešte väčšie problémy mohli vzniknúť, ak ste riešili úlohu, kde boli dva systémy množín. Ak ste tým istým symbolom označili $\mathcal S=\{A_i;i\in I\}$ aj $\mathcal S=\{B_i;i\in I\}$, tak riešenie samozrejme nie je správne. (Vo všeobecnosti to môžu byť rôzne systémy.)

Niektoré chyby v odovzdaných riešeniach
Aby som veci nemusel písať viackrát (viaceré problémy sa objavujú u viac ľudí), budem písať poznámky k d.ú. sem na fórum.

• V niektorých riešeniach bolo
  $$x\in\bigcap_{i\in I}(A_i\cup B_i) \Leftrightarrow x\in (A_1\cap B_1) \land x\in (A_2\cap B_2) \land \dots$$
  Takýto zápis by sa povedzme dal uznať, keby sme mali $I=\mathbb N\setminus\{0\}=\{1,2,3,\dots\}$, alebo ako nejaké neformálne zdôvodnenie, prečo sa intuitívne zdá, že by tvrdenie mohlo platiť.
  Ako formálny zápis poriadneho dôkazu to však neobstojí. Prvá výhrada je, že nemusíme mať vôbec $1,2\in I$. Ďalej $I$ nemusí byť množina, ktorá by sa dala nejako pekne vymenovať. (Zdá sa vám taký zápis ok pre $I=\mathbb R$? V akom poradí by ste vypisovali reálne čísla: $1,2,\sqrt5,\pi,\dots$?) A hlavne nie je celkom jasné, čo sa týmto zápisom myslí - keďže sme taký zápis nikde nedefinovali. Pokaľ sa ním myslí $(\forall i\in I) x\in A_i\cap B_i$, tak prečo nepoužiť spôsob zápisu, ktorý sme zaviedli na prednáške?
• Ak sa snažíte dokázať
  $$\bigcup_{i\in I} A_i\cup \bigcup_{i\in I} B_i = \bigcup_{i\in I}(A\cup B_i)$$
  tak to sa dá prepísať napríklad tak, že
  $$(x\in \bigcup_{i\in I} A_i)\lor(x\in \bigcup_{i\in I} B_i) \Leftrightarrow (\forall i\in I) (x\in A_i\cup B_i).$$
  (Samozrejme, treba to upravovať ďalej, kým dospejeme k tomu, že tie dve podmienky sú ekvivalentné.) Prepísať to ako
  $$(\forall x)(x\in A)\lor(x\in B) \Leftrightarrow (\forall x)(x\in A\lor x\in B)$$
  zjavne nie je v poriadku: Niekde sa stratili množiny $A_i$, $B_i$, zrazu tu vystupujú množiny $A$ a $B$, ktoré v pôvodnom zadaní nikde neboli.
• Ak sa snažím dokázať $$\bigcap_{i\in I} A_i\cap \bigcap_{i\in I} B_i = \bigcap_{i\in I}(A_i\cup B_i),$$ tak vlastne máme ukázať, že:
  $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcap_{i\in I} B_i$ platí práve vety, keď platí $x\in\bigcap\limits_{i\in I}(A\cup B_i)$.
  Zápis $$(i\in I \land i\in A_i)\land(i\in I\land i\in B_i) \Leftrightarrow (i\in I \land i\in A_i \land i\in B_i)$$ hovorí o niečom úplne inom. Ak ste ten výrok prepísali takto, zdá sa, že Vám nie je jasná definícia prieniku systému množín. Treba si dať pozor na to, že prvkami množiny $i$ sú indexované množiny v sytéme. Prvky prieniku je treba označiť inak ako $i$. (Výrazne jednoduchší príklad na podobnú situáciu: Ak mám $A_1\cap A_2$, tak nie vždy má zmysel pýtať sa, či $1\in A_1$. Množiny $A_1$, $A_2$ môžu byť úplne ľubovoľné množiny, napríklad množiny bodov rovine. Nemusia to byť množiny čísel - vtedy by ešte malo zmysel pýtať sa, či $1\in A_1$. To sa podobá na podmienku $i\in A_i$.)