Úloha 5.5 Nezávislé vektory + platnosť v Z2

[ErikVarga108]

Úloha 5.5. Nech $V$ je vektorový priestor nad $\mathbb R$ a $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$ sú lineárne nezávislé vektory. Ukážte, že aj vektory $\vec\alpha+\vec\beta$, $\vec\alpha+\vec\gamma$, $\vec\beta+\vec\gamma$ sú lineárne nezávislé. Platilo by takéto tvrdenie aj keby išlo o vektorový priestor nad poľom $\mathbb Z_2$?

LN: $(\forall c_1 ... c_n \in \mathbb R): c_1 \vec \alpha_1 + ... + c_n \vec \alpha _n = \vec 0 \rightarrow c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$

V našom prípade to znamená:

$c_1 (\vec\alpha + \vec\beta) + c_2 (\vec\alpha + \vec\gamma) + c_3 (\vec\beta + \vec\gamma) = 0$
$c_1 \vec\alpha + c_1 \vec\beta + c_2 \vec\alpha +c_2 \vec\gamma + c_3 \vec\beta + c_3 \vec\gamma = 0$

Vďaka asociativite si to môžeme upraviť napr. takto:
$c_1 \vec\alpha + c_2 \vec\alpha + c_1 \vec\beta + c_3 \vec\beta + c_2 \vec\gamma + c_3 \vec\gamma = 0$

Z tohto vidíme, že koeficienty sú vo vzťahu:
$(c_1 + c_2) = 0$
$(c_1 + c_3) = 0$
$(c_2 + c_3) = 0$

čo v $\mathbb R$ nie je dosiahnuteľné inak, ako tým, že $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ lebo úpravami dostaneme $(c_1 = -c_2; c_2 = c_3 \rightarrow -c_3 + c_3 = 0)$. To znamená, že $\vec\alpha+\vec\beta$, $\vec\alpha+\vec\gamma$, $\vec\beta+\vec\gamma$ sú v $\mathbb R$ lineárne nezávislé.

V $\mathbb Z_2$ ale môžeme dostať 0 aj týmto spôsobom:
$(c_1 + c_2) = 0$
$(c_1 + c_3) = 0$
$(c_2 + c_3) = 0$,
kde $c_1 = c_2 = c_3 = 1$ (keďže v $\mathbb Z_2$ platí $1+1=0$) a preto $\vec\alpha+\vec\beta$, $\vec\alpha+\vec\gamma$, $\vec\beta+\vec\gamma$ sú v $\mathbb Z_2$ lineárne závislé. Inými slovami, dostaneme nulový vektor napriek tomu, že niektoré (všetky) koeficienty budú nenulové.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku.
Značím si 1 bod.