Úloha 4.1 Vektorovy priestor a inverzne prvky
Posted: Thu Oct 31, 2013 10:19 pm
Úloha 4.1. Dokážte, že vo vektorovom priestore $V$ nad poľom $F$ pre každé $\vec\alpha, \vec\beta\in V$, $c\in F$ platí $c(\vec\alpha-\vec\beta)=c\vec\alpha-c\vec\beta$.
Vieme, ze vo VP plati:
$c \cdot (\vec\gamma + \vec\delta) = c\vec\gamma + c\vec\delta$
Nech $\vec\delta = -\vec\beta$ a $\vec\gamma = \vec\alpha$.
Ináč povedané $\vec\delta$ je IP $\vec\beta$.
Potom dostaneme:
$c \cdot (\vec\alpha + (- \vec\beta)) = c \cdot (\vec\alpha - \vec\beta) = c\vec\alpha + c(-\vec\beta)$(1)
Ak si to porovnáme s výrazom, ktorý chceme dokázať, tak už nám stačí dokázať len, že:
$c(-\vec\beta) = - c\vec\beta$(2)
Ináč povedané: $c(-\vec\beta)$ je IP k $c\vec\beta$.
Definícia IP hovorí, že:
$c(-\vec\beta) + c\vec\beta = \vec0$
K tomuto by sme sa chceli dopracovať. Na úpravu ľavej strany využime distributivitu, ktorá je v def. VP $V$ nad $F$:
$c(-\vec\beta) + c\vec\beta = c(-\vec\beta + \vec\beta) = c \cdot \vec0$
Veta 4.1.6.(b) v skriptách tvrdí, že $c \cdot \vec0 = \vec0$.
Nakoniec sme sa teda dopracovali k $\vec0$. Z toho vyplýva, že platí (2) a potom môžeme (1) prepísať do konečného stavu $c\vec\alpha + c(-\vec\beta) = c\vec\alpha - c\vec\beta$.
Vieme, ze vo VP plati:
$c \cdot (\vec\gamma + \vec\delta) = c\vec\gamma + c\vec\delta$
Nech $\vec\delta = -\vec\beta$ a $\vec\gamma = \vec\alpha$.
Ináč povedané $\vec\delta$ je IP $\vec\beta$.
Potom dostaneme:
$c \cdot (\vec\alpha + (- \vec\beta)) = c \cdot (\vec\alpha - \vec\beta) = c\vec\alpha + c(-\vec\beta)$(1)
Ak si to porovnáme s výrazom, ktorý chceme dokázať, tak už nám stačí dokázať len, že:
$c(-\vec\beta) = - c\vec\beta$(2)
Ináč povedané: $c(-\vec\beta)$ je IP k $c\vec\beta$.
Definícia IP hovorí, že:
$c(-\vec\beta) + c\vec\beta = \vec0$
K tomuto by sme sa chceli dopracovať. Na úpravu ľavej strany využime distributivitu, ktorá je v def. VP $V$ nad $F$:
$c(-\vec\beta) + c\vec\beta = c(-\vec\beta + \vec\beta) = c \cdot \vec0$
Veta 4.1.6.(b) v skriptách tvrdí, že $c \cdot \vec0 = \vec0$.
Nakoniec sme sa teda dopracovali k $\vec0$. Z toho vyplýva, že platí (2) a potom môžeme (1) prepísať do konečného stavu $c\vec\alpha + c(-\vec\beta) = c\vec\alpha - c\vec\beta$.