DU3 - ZS 2013/14
Posted: Sat Nov 02, 2013 1:40 pm
Časté chyby
Niektorí z vás pri prieniku $\bigcap_{i=0}^\infty A_i$ napísali, že to je vlastne prienik systému $\mathcal S=\{A_i; i\in I\}$ pre $I=\langle0,\infty)$.
To nie je správne. V skutočnosti takto označujeme prienik systému $\mathcal S=\{A_i; i\in I\}$ pre $I=\mathbb N$; stručnejšie povedané $\mathcal S=\{A_i; i\in \mathbb N\}$.
V prvok kroku indukcie pre dôkaz $\bigcap_{i=0}^\infty A_i\subseteq \bigcap_{i=0}^\infty B_i$ sa objavilo, že ukážete $\bigcap A_0\subseteq \bigcap B_0$. Treba si uvedomiť, že podľa definície je $\bigcap\limits_{i=0}^0 A_i=\bigcap\{A_0\}=A_0$. To určite nie je to isté ako $\bigcap A_0$.
Všeobecnejšie $\bigcap\limits_{i=0}^n A_i=\bigcap\{A_1,A_2,\dots,A_n\}=\{x; x\in A_i\text{pre každé }i=0,1,\dots,n\}$.
V jednej z úloh sa dokazoval, že ak pre niektoré $i$ platí $A_i\cap B=\emptyset$, tak potom aj $(\bigcap\limits_{i=0}^{n}A_i)\cap B=\emptyset$. Ak to dokazujete indukciou, tak nemôžete jednoducho povedať, že z indukčného predpokladu viete $(\bigcap\limits_{i=0}^{n}A_i)\cap B=\emptyset$, a teda potom aj $(\bigcap\limits_{i=0}^{n+1}A_i)\cap B=\emptyset$. Treba si zvlášť rozmyslieť dva prípady - čo sa stane ak $A_{n+1}\cap B=\emptyset$ a čo sa stane ak $A_i\cap B=\emptyset$ platí pre niektoré z čísel $i=0,1,\dots,n$. (V tom druhom prípade sa dá odvolať na indukčný predpoklad.)
Niektorí z vás pri prieniku $\bigcap_{i=0}^\infty A_i$ napísali, že to je vlastne prienik systému $\mathcal S=\{A_i; i\in I\}$ pre $I=\langle0,\infty)$.
To nie je správne. V skutočnosti takto označujeme prienik systému $\mathcal S=\{A_i; i\in I\}$ pre $I=\mathbb N$; stručnejšie povedané $\mathcal S=\{A_i; i\in \mathbb N\}$.
V prvok kroku indukcie pre dôkaz $\bigcap_{i=0}^\infty A_i\subseteq \bigcap_{i=0}^\infty B_i$ sa objavilo, že ukážete $\bigcap A_0\subseteq \bigcap B_0$. Treba si uvedomiť, že podľa definície je $\bigcap\limits_{i=0}^0 A_i=\bigcap\{A_0\}=A_0$. To určite nie je to isté ako $\bigcap A_0$.
Všeobecnejšie $\bigcap\limits_{i=0}^n A_i=\bigcap\{A_1,A_2,\dots,A_n\}=\{x; x\in A_i\text{pre každé }i=0,1,\dots,n\}$.
V jednej z úloh sa dokazoval, že ak pre niektoré $i$ platí $A_i\cap B=\emptyset$, tak potom aj $(\bigcap\limits_{i=0}^{n}A_i)\cap B=\emptyset$. Ak to dokazujete indukciou, tak nemôžete jednoducho povedať, že z indukčného predpokladu viete $(\bigcap\limits_{i=0}^{n}A_i)\cap B=\emptyset$, a teda potom aj $(\bigcap\limits_{i=0}^{n+1}A_i)\cap B=\emptyset$. Treba si zvlášť rozmyslieť dva prípady - čo sa stane ak $A_{n+1}\cap B=\emptyset$ a čo sa stane ak $A_i\cap B=\emptyset$ platí pre niektoré z čísel $i=0,1,\dots,n$. (V tom druhom prípade sa dá odvolať na indukčný predpoklad.)