Úloha 6.4. Podpriestor a jeho baza

[Rabatin]

Úloha 6.4. Overte, že $M=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4; x+y+z+w=0, x-y+z-w=0\}$ tvorí podpriestor priestoru $\mathbb R^4$. Nájdite nejakú bázu tohoto podpriestoru.

Ked chcem overit, ze nieco je podpristor, tak to musi splnat nasledujuce podmienky:
1) $M \subseteq R^4$
2) $\forall \vec\alpha \in M, c \in {\mathbb R}: c\vec\alpha \in M$
3) $\forall \vec\alpha, \vec\beta \in M : (\vec\alpha + \vec\beta) \in M$

1) Prva podmienka zjavne plati. Kedze $x,y,z,w \in \mathbb R$.
2)
Chceme overit, ci $(cx,cy,cz,cw) \in M$. Vieme, ze $(x,y,z,w) \in M$.
Dosadime do rovnic:
$cx+cy+cz+cw=0$
$cx-cy+cz-cw=0$
Vyuzijeme vlastnost VP $c(\vec\alpha + \vec\beta) = c\vec\alpha + c\vec\beta$ a dostaneme:
$c(x+y+z+w)=0$
$c(x-y+z-w)=0$
Teraz mozeme obe rovnice vynasobit $c^{-1}$ a dostaneme:
$x+y+z+w=0$
$x-y+z-w=0$
Co su povodne rovnice, ktore platia z predpokladu, ze $\vec\alpha \in M$.
Este sa zamyslime co sa stane ak $c=0$. Tento prvok nema IP. V takom pripade lava strana rovnice je nulova, teda rovnica plati.
3)
Vieme, ze $(x,y,z,w) \in M$ a $(a,b,c,d) \in M$.
Teda plati:
$x+y+z+w=0$(1)
$x-y+z-w=0$(2)
$a+b+c+d=0$(3)
$a-b+c-d=0$(4)
Scitanim dostaneme vektor $(x+a,y+b,z+c,w+d)$. Dosadime do rovnic, ktore nam definuju VP:
$(x+a)+(y+b)+(z+c)+(w+d)=0$
$(x+a)-(y+b)+(z+c)-(w+d)=0$
Vyuzijem asociativny a kom. zakon na poli $\mathbb R$:
$x+y+z+w+a+b+c+d=0$
$x-y+z-w+a-b+c-d=0$
Do prvej rovnice dosadime rovnicu (1) a (3). Do druhej dosadime (2) a (4) a dostaneme:
$0 + 0 = 0$
$0 + 0 = 0$
Co plati. Tymto sme overili poslednu podmienku vektoroveho podpristoru, teda $M$ je skutocne podpriestor.

Teraz sa pozrime na bazu. Potrebujeme zjednodusit rovnice, ktore definuju VP:
$x+y+z+w=0$
$x-y+z-w=0$
Scitame ich a dostaneme:
$x+z=0$
Ked tento vysledok zasubstituujeme do prvej, tak dostaneme:
$0+y+w=0$
Teda mozeme povedat, ze $x=-z$ a $y=-w$. Teda tento VP vieme popisat ako $(-z,-w,z,w)$. Teda baza tohto VP je $(-1,0,1,0)$ a $(0,-1,0,1)$. Tieto dva vektory sú rozhodne LN a podla $(-z,-w,z,w)$ generuje cele $M$. Teda dimenzia $M$ je $2$.

[Martin Sleziak]

Ked chcem overit, ze nieco je podpristor, tak to musi splnat nasledujuce podmienky:
1) $M \subseteq R^4$
2) $\forall \vec\alpha \in M, c \in {\mathbb R}: c\vec\alpha \in M$
3) $\forall \vec\alpha, \vec\beta \in M : (\vec\alpha + \vec\beta) \in M$

Ešte ste zabudli na podmienku $M\ne\emptyset$. (Tú však ľahko skontrolujete tým, že sa pozriete, či tam patrí vektor $(0,0,0,0)$. Vo všeobecnosti sa oplatí kontrolovať $\vec0\in M$ ako prvú vec, keď sa pýtame, či nejaká množina $M$ je podpriestor. Ak to neplatí, tak hneď vieme povedať, že nejde o podpriestor - na prednáške sme dokázali, že každý podpriestor musí obsahovať nulový vektor.)

Riešenie je fajn, značím si 1 bod.