msleziak.com

Overte, či množina $F=\{a+b\sqrt3; a,b\in\mathbb Q\}$ s obvyklým sčitovaním a násobením reálnych čísel tvorí pole. (Fakt, že reálne čísla $(\mathbb R,+,\cdot)$ tvoria pole samozrejme môžete používať.)

Úloha takéhoto typu je vyriešená v úlohe 2.3.

Veľa vecí nebolo treba rozpisovať - stačilo napísať, že sa zdedia z poľa $\mathbb R$. (Pracujeme s podmnožinou $\mathbb R$ a operácie $+$ a $\cdot$ sú rovnaké ako v $\mathbb R$.)

Čiže veľa vlastností sa zdedí z väčšej množiny úplne automaticky: distributívne zákony, komutatívnosť a asociatívnosť oboch operácií. Možno nie úplne jasné na prvý pohľad, ale to že súčin nenulových prvkov je nenulvoý sa zdedí tiež z poľa $\mathbb R$.

Veci, ktoré treba kontrolovať sú: Sú to binárne operácie? (Na toto mnoho ľudí zabudlo.) Existuje neutrálny prvok? Má každý prvok inverzný prvok?

Overenie či ide o binárne operácie znamená skontrolovať, či súčet a súčin dvoch prvkov z $F$ je opäť z $F$:
$$
\begin{gather*}
(a+b\sqrt3)+(c+d\sqrt3)=(a+c)+(b+d)\sqrt3\\
(a+b\sqrt3)(c+d\sqrt3)=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt3
\end{gather*}
$$
Ak $a,b,c,d\in\mathbb Q$, tak aj $a+c$, $b+d$, $ac+3bd$ aj $ad+bc$ sú racionálne.

Nájdenie neutrálneho prvku pre sčitovanie a násobenie a aj nájdenie inverzného prvku pre sčitovanie je ľahké. (Takisto ako kontrola, či sú to prvky z $F$.)

O trošičku zaujímavejšie je to s inverzným prvkom vzhľadom na násobenie. Pre $a+b\sqrt3\ne0$ máme
$$\frac1{a+b\sqrt3}=\frac{a-b\sqrt3}{(a-b\sqrt3)(a+b\sqrt3)}=\frac{a-b\sqrt3}{a^2-3b^2}.$$
Pretože $\frac{a}{a^2-3b^2}$ aj $\frac{-b}{a^2-3b^2}$ sú racionálne čísla, tento prvok patrí do $F$.
Zostáva ešte overiť, že ak $a+b\sqrt3\ne0$, tak je menovaťeľ $a^2-3b^2$ nenulový. (Treba tu využiť, že $\sqrt3$ je iracionálne číslo.)

Úlohu som bodoval tak, že 1 bod som dal ak ste mali správne definíciu poľa, 1 bod za vlastnosti, ktoré sa zdedia $\mathbb R$, 1 bod za inverzný prvok na násobenie, 1 bod za ostatné vlastnosti (ktoré sa síce nededia, ale je ich pomerne ľahké dokázať).