Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, davidwilsch, jaroslav.gurican
-
- Posts: 26
- Joined: Sun Oct 27, 2013 12:58 am
Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Úloha 9.5. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^4$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3)=(-2,3,1,3)$, $f(-3,1,-2)=(-1,-2,-10,-2)$, $f(1,1,2)=(-1,2,2,2)$ a $f$ je injektívne.
$\begin{pmatrix}1&2&3&|&-2&3&1&3\\-3&1&-2&|&-1&-2&-10&-2\\1&1&2&|&-1&2&2&2\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}0&1&1&|&-1&1&-1&1\\-3&1&-2&|&-1&-2&-10&-2\\1&1&2&|&-1&2&2&2\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}0&1&1&|&-1&1&-1&1\\-3&0&-3&|&0&-3&-9&-3\\1&0&1&|&0&1&3&1\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}0&1&1&|&-1&1&-1&1\\-1&0&-1&|& 0&-1&-3&-1\\1&0&1&|&0&1&3&1\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}1&0&1&|&0&1&3&1\\0&1&1&|&-1&1&-1&1\\0&0&0&|&0&0&0&0\end{pmatrix}$
$f$ nie je injektivna, lebo ma nekonecne vela zobrazeni.
$f(1,2,3)=(-2,3,1,3)$, $f(-3,1,-2)=(-1,-2,-10,-2)$, $f(1,1,2)=(-1,2,2,2)$ a $f$ je injektívne.
$\begin{pmatrix}1&2&3&|&-2&3&1&3\\-3&1&-2&|&-1&-2&-10&-2\\1&1&2&|&-1&2&2&2\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}0&1&1&|&-1&1&-1&1\\-3&1&-2&|&-1&-2&-10&-2\\1&1&2&|&-1&2&2&2\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}0&1&1&|&-1&1&-1&1\\-3&0&-3&|&0&-3&-9&-3\\1&0&1&|&0&1&3&1\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}0&1&1&|&-1&1&-1&1\\-1&0&-1&|& 0&-1&-3&-1\\1&0&1&|&0&1&3&1\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}1&0&1&|&0&1&3&1\\0&1&1&|&-1&1&-1&1\\0&0&0&|&0&0&0&0\end{pmatrix}$
$f$ nie je injektivna, lebo ma nekonecne vela zobrazeni.
-
- Posts: 5582
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Priznám sa, že nerozumiem, čo týmto chcete povedať.JakubNovak72 wrote: $f$ nie je injektivna, lebo ma nekonecne vela zobrazeni.
Zatiaľ ste zistili, že ak lineárne zobrazenie spĺňa uvedené podmienky, tak určite musí platiť $f(1,0,1)=(0,1,3,1)$ a $f(0,1,1)=(-1,1,-1,1)$.
Otázka je, či existuje $f$, pre ktoré platia tieto dve podmienky a navyše je injektívne. (Vieme z prednášky nejaké podmienky o tom, kedy je lineárne zobrazenie injektívne?)
-
- Posts: 26
- Joined: Sun Oct 27, 2013 12:58 am
Re: Úloha 9.5. Matica zobrazenia
No z prednasky vieme, ze (dosledok vety) ak $f: F^n \to F^n$ je linearne zobrazenie, tak $f$ je injekcia prave vtedy, ked su vektory LN.
Vektory $f(1,0,1)=(0,1,3,1)$ a $f(0,1,1)=(−1,1,−1,1)$ su LN a $f: R^3 -> R^3$ je lin. zobrazenie.
Teda $f$ je injekcia.
Vektory $f(1,0,1)=(0,1,3,1)$ a $f(0,1,1)=(−1,1,−1,1)$ su LN a $f: R^3 -> R^3$ je lin. zobrazenie.
Teda $f$ je injekcia.
-
- Posts: 5582
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Toto nie je veľmi presné. Aké vektory sú lineárne nezávislé?JakubNovak72 wrote:No z prednasky vieme, ze (dosledok vety) ak $f: F^n \to F^n$ je linearne zobrazenie, tak $f$ je injekcia prave vtedy, ked su vektory LN.
Ak tvrdíte, že každé zobrazenie, pre ktoré f(1,0,1)=(0,1,3,1)$ a $f(0,1,1)=(−1,1,−1,1)$, je lineárne nezávislé, tak to nie je pravda.JakubNovak72 wrote: Vektory $f(1,0,1)=(0,1,3,1)$ a $f(0,1,1)=(−1,1,−1,1)$ su LN a $f: R^3 -> R^3$ je lin. zobrazenie.
Teda $f$ je injekcia.
Vašou úlohou je nájsť aspoň jedno také zobrazenie (a jeho maticu).
-
- Posts: 26
- Joined: Sun Oct 27, 2013 12:58 am
Re: Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Vektory $f(1,0,1)$ a $f(0,1,1)$ su LN.
Neviem co presne mam spravit, lebo "Ak f:Fn→Fn je linearne zobrazenie, tak f je injekcia prave vtedy, ked su vektory LN." je v podstate presne odpisane z prednasky a nic viac sme k tomu tusim nemali (k tomu ako vyzera inj, surj, bij zobrazenie v maticiach) ani na cviku.
Neviem co presne mam spravit, lebo "Ak f:Fn→Fn je linearne zobrazenie, tak f je injekcia prave vtedy, ked su vektory LN." je v podstate presne odpisane z prednasky a nic viac sme k tomu tusim nemali (k tomu ako vyzera inj, surj, bij zobrazenie v maticiach) ani na cviku.
-
- Posts: 5582
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Lineárne zobrazenie je injekcia práve vtedy keď obrazy bázových vektorov sú lineárne nezávislé.JakubNovak72 wrote:Vektory $f(1,0,1)$ a $f(0,1,1)$ su LN.
Neviem co presne mam spravit, lebo "Ak f:Fn→Fn je linearne zobrazenie, tak f je injekcia prave vtedy, ked su vektory LN." je v podstate presne odpisane z prednasky a nic viac sme k tomu tusim nemali (k tomu ako vyzera inj, surj, bij zobrazenie v maticiach) ani na cviku.
Vektory (1,0,1), (0,1,1) netvoria bázu priestoru $\mathbb R^3$.
-
- Posts: 26
- Joined: Sun Oct 27, 2013 12:58 am
Re: Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Takze ak si to doplnim napr vektormi $f(0,0,1)=(0,0,0,0)$ a $f(0,0,0)=(1,0,0,0)$, tak obrazy su LN a vektory(po uprave) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) tvoria bazu $R^3$.
-
- Posts: 5582
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Ak $f$ je lineárne zobrazenie, tak zobrazuje nulový vektor na nulový vektor, teda určite nemôže platiť $f(0,0,0)=(1,0,0,0)$.JakubNovak72 wrote:Takze ak si to doplnim napr vektormi $f(0,0,1)=(0,0,0,0)$ a $f(0,0,0)=(1,0,0,0)$, tak obrazy su LN a vektory(po uprave) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) tvoria bazu $R^3$.
Ak si zvolíte $f(0,0,1)=(0,0,0,0)$, tak zobrazenie nebude injektívne, lebo $f(0,0,1)=f(0,0,0)=(0,0,0,0)$.
-
- Posts: 26
- Joined: Sun Oct 27, 2013 12:58 am
Re: Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Ok, tak to teda skombinujem a doplnim si len $f(0,0,1)=(1,0,0,0)$.
$f(0,0,1)$ =/= $f(0,0,0)$
A vektory by mali byt nezavisle.
$f(1,0,0)=(-1,1,3,1)$, $f(0,1,0)=(−2,1,−1,1)$, $f(0,0,1)=(1,0,0,0)$
Mame bazove vektory a ich obrazy su linearne nezavisle.
Nie som si isty, ci mozem LN obrazov vektorov overit takto samostatne, ale pre istotu:
$\begin{pmatrix}-1&1&3&1\\-2&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&1&3&1\\0&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&0&4&0\\0&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$
$f(0,0,1)$ =/= $f(0,0,0)$
A vektory by mali byt nezavisle.
$f(1,0,0)=(-1,1,3,1)$, $f(0,1,0)=(−2,1,−1,1)$, $f(0,0,1)=(1,0,0,0)$
Mame bazove vektory a ich obrazy su linearne nezavisle.
Nie som si isty, ci mozem LN obrazov vektorov overit takto samostatne, ale pre istotu:
$\begin{pmatrix}-1&1&3&1\\-2&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&1&3&1\\0&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&0&4&0\\0&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$
-
- Posts: 5582
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úloha 9.5. Matica zobrazenia
Možno by nebolo zlé vysvetliť, že odkiaľ ste dostali tieto hodnoty. (Tretiu ste si zvolili? Ako vyšli prvé dve?)JakubNovak72 wrote: $f(1,0,0)=(-1,1,3,1)$, $f(0,1,0)=(−2,1,−1,1)$, $f(0,0,1)=(1,0,0,0)$
Áno, je pravda, že ak takto budú vyzerať obrazy vektorov zo štandardnej bázy, tak lineárne zobrazenie $f$ bude injektívne.
Overiť, či spĺňa ostatné podmienky vieme ľahko (skontrolujeme, kam sa zobrazia zadané vektory).
Aká bude teda odpoveď?
(Pôvodná úloha bola nájsť maticu nejakého zobrazenia, ktoré spĺňa zadané podmienky.)