Úloha 9.3. Sucin matic a vektorove priestory
Posted: Sun Dec 15, 2013 8:39 pm
Úloha 9.3. Nech $C=AB$, kde $A$, $B$ sú matice. Musí potom platiť $V_C\subseteq V_A$? Musí platiť $V_C\subseteq V_B$? Musí platiť $V_A\subseteq V_C$, $V_B\subseteq V_C$? (Svoje tvrdenie zdôvodnite, t.j. dokážte, alebo nájdite kontrapríklad.)
Sucin matic je vlastne zlozenie lin. zobrazeni, takze mozeme napisat:
$f_B \circ f_A = f_C$
Nech:
$f_A : X \rightarrow V_A$
$f_B : V_A \rightarrow V_B$
A teda :
$f_C : X \rightarrow V_C$
$f_C$ mozeme aj inak vyjadrit, lebo je to vlastne $f_A \circ b_A$. Toto zlozene zobrazenie je vlastne $X \rightarrow V_B$.
$V_A$ je mnozina vzorov pre zobrazenie $f_B$, takze vobec nemusi platit, ze $V_C \subseteq V_A$. Napriklad $X$ moze byt ${\mathbb R}$, ktora sa zobrazi do $V_A = {\mathbb R}^2$ a ta sa zobrazi do $V_B = {\mathbb R}$. Tak isto nemusi platit opacna inkluzia $V_A \subseteq V_C$
Dalej $V_C \subseteq V_B$. Toto uz plati, ale neplati opacna ikluzia $V_B \subseteq V_C$. Napriklad ak $f_A$ nie je surjektivne, teda existuje $\vec\beta$, pre ktory plati, ze $f_B(\vec\beta) = \vec\alpha$, ale neexistuje $\vec\gamma$, taky, ze $f_A(\vec\gamma) = \vec\beta$.
Dokazme este, ze $V_C \subseteq V_B$. Vieme, ze $f_B(f_A(\vec\alpha)) \in V_C$ a $f_B(\vec\beta) \in V_B$. Teda $V_C$ je iba zuzena mnozina obrazov zobrazenia $f_B$, lebo sa do neho nemusia dostat vsetky vzory.
Sucin matic je vlastne zlozenie lin. zobrazeni, takze mozeme napisat:
$f_B \circ f_A = f_C$
Nech:
$f_A : X \rightarrow V_A$
$f_B : V_A \rightarrow V_B$
A teda :
$f_C : X \rightarrow V_C$
$f_C$ mozeme aj inak vyjadrit, lebo je to vlastne $f_A \circ b_A$. Toto zlozene zobrazenie je vlastne $X \rightarrow V_B$.
$V_A$ je mnozina vzorov pre zobrazenie $f_B$, takze vobec nemusi platit, ze $V_C \subseteq V_A$. Napriklad $X$ moze byt ${\mathbb R}$, ktora sa zobrazi do $V_A = {\mathbb R}^2$ a ta sa zobrazi do $V_B = {\mathbb R}$. Tak isto nemusi platit opacna inkluzia $V_A \subseteq V_C$
Dalej $V_C \subseteq V_B$. Toto uz plati, ale neplati opacna ikluzia $V_B \subseteq V_C$. Napriklad ak $f_A$ nie je surjektivne, teda existuje $\vec\beta$, pre ktory plati, ze $f_B(\vec\beta) = \vec\alpha$, ale neexistuje $\vec\gamma$, taky, ze $f_A(\vec\gamma) = \vec\beta$.
Dokazme este, ze $V_C \subseteq V_B$. Vieme, ze $f_B(f_A(\vec\alpha)) \in V_C$ a $f_B(\vec\beta) \in V_B$. Teda $V_C$ je iba zuzena mnozina obrazov zobrazenia $f_B$, lebo sa do neho nemusia dostat vsetky vzory.