msleziak.com

Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ a $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie. Dokážte: Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, tak aj $f(\vec\alpha_1), \ldots, f(\vec\alpha_n)$ sú lineárne závislé vektory.

Ak sú vektory $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ lin. závislé, potom je medzi nimi aspon jeden taký, ktorý sa dá zapísať ako lin. kombinácia ostatných, BÚNV nech je to $\vec\alpha_n = c_1 \vec\alpha_1 + \dots + c_{n-1} \vec\alpha_{n-1}$. Potom jeho obraz $f(\vec\alpha_n) = f(c_1 \vec\alpha_1 + \dots + c_{n-1} \vec\alpha_{n-1})$. Keďže zobrazenie $f$ je lineárne, platí $f(\vec\alpha_n) = f(c_1 \vec\alpha_1 + \dots + c_{n-1} \vec\alpha_{n-1}) = f(c_1 \vec\alpha_1) + \dots + f(c_{n-1} \vec\alpha_{n-1}) = c_1 f(\vec\alpha_1) + \dots + c_{n-1} f(\vec\alpha_{n-1})$, čo je lin. kombinácia $f(\vec\alpha_1), \dots, f(\vec\alpha_{n-1})$.

Ok, značím si 1 bod.

Trochu inak zapísané sa zhruba to isté dá povedať takto:
$c_1\vec\alpha_1+\dots+c_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$
$f(c_1\vec\alpha_1+\dots+c_n\vec\alpha_n)=f(\vec0)$ $\Rightarrow$
$c_1f(\vec\alpha_1)+\dots+c_nf(\vec\alpha_n)=\vec0$