Úloha 12.3. Determinant matice $n\times n$
Posted: Thu Jan 16, 2014 7:53 am
Úloha 12.3.
$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}
=?$
Chceme upravit maticu na, tak aby sme mali pod diagonalou same nuly. Vieme, ze pricitanim nasobku niektoreho riadku sa nam nemeni hodnota determinantu. Postupne odcitavame od druheho riadku prvy. Potom od tretieho riadku prvy. atd. Robime to pre vsetky riadky okrem prveho a dostaneme:
$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 \\
\end{vmatrix}
$
Na diagonale sme dostali sucin $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) = (n-1)!$
$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}
=?$
Chceme upravit maticu na, tak aby sme mali pod diagonalou same nuly. Vieme, ze pricitanim nasobku niektoreho riadku sa nam nemeni hodnota determinantu. Postupne odcitavame od druheho riadku prvy. Potom od tretieho riadku prvy. atd. Robime to pre vsetky riadky okrem prveho a dostaneme:
$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 \\
\end{vmatrix}
$
Na diagonale sme dostali sucin $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) = (n-1)!$