msleziak.com

Úloha 9.1. Nech $f\colon U\to V$, $g,h \colon V\to W$ sú lineárne zobrazenia. Súčet lineárnych zobrazení definujeme ako $(g+h)(\vec\alpha)=g(\vec\alpha)+h(\vec\alpha)$. Vcelku ľahko sa dá ukázať, že súčet lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie. Dokážte, že platí $(g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f$.

$$ ((g + h) \circ f)(\vec{\alpha}) = (g+h)(f(\vec{\alpha})) = g(f(\vec{\alpha})) + h(f(\vec{\alpha})) \overset{def}{=} (g \circ f)(\vec{\alpha}) + (h \circ f)(\vec{\alpha}) $$

Čo tento výsledok hovorí o násobení matíc?

Takto definovaný súčet zobrazení korešponduje k súčtu matíc po súradniciach: ak matica zobrazenia $g$, resp. $h$ je $M_g = ||a_{ij}||$, resp. $M_h = ||b_{ij}||$, potom matica súčtu zobrazení je $M_{g+h} = ||a_{ij} + b_{ij}|| $. Skladanie zobrazení (ako vieme) zodpovedá násobeniu matíc. Takže z takejto "distributívnosti" skladania a súčtu zobrazení vyplýva distributívnosť násobenia a súčtu matíc, teda $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ (kde $+$ je definované po súradniciach, teda $||a_{ij}|| + ||b_{ij}|| = ||a_{ij} + b_{ij}||$).

Ok, značím si 1 bod.

Ak sa niekomu chce, môže sa v súvislosti s týmto zadaním zamyslieť nad rovnosťou $f\circ (g+h) = f\circ g+f\circ h$. (Treba zvoliť definičné obory a obory hodnôt tak, aby sa tie zobrazenia dali skladať.)
Bude to fungovať aj v takomto poradí? Fungovalo by to, aj ak by tie zobrazenia neboli lineárne?