msleziak.com

Nasledujúca úloha je zo skúškovej písomky.

Nájdite maticu $A$ nad $\mathbb R$ takú, že množina riešení homogénnej sústavy s maticou $A$ je $[(1,1,4,2),(1,0,1,2),(0,0,1,-1)]$.

Chceme nájsť lineárne rovnice, t.j. rovnice tvaru $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4$ také, aby im vyhovovali vektory $[(1,1,4,2),(1,0,1,2),(0,0,1,-1)]$.

To vlastne znamená, že (zatiaľ neznáme) koeficienty každej rovníc musia spĺňať
$$
\begin{aligned}
a+b+4c+2d&=0\\
a+c+2d&=0\\
c-d&=0
\end{aligned}
$$
(Tieto rovnice sme dostali dosadením zadaných vektorov za $x_1,\dots,x_4$.)

Jediné možnosti pre $a$, $b$, $c$, $d$ dostaneme teda ako riešenia tejto homogénnej sústavy rovníc:
$$
\begin{pmatrix}
1&1&4& 2\\
1&0&1& 2\\
0&0&1&-1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&1& 2\\
1&1&4& 2\\
0&0&1&-1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&1& 2\\
0&1&3& 0\\
0&0&1&-1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&0& 3\\
0&1&0& 3\\
0&0&1&-1
\end{pmatrix}
$$

Z poslednej matice vieme vyčítať, že riešenia tejto sústavy sú presne násobky vektora $(3,3,-1,-1)$. (T.j. množina riešení je $[((3,3,-1,-1))]$.)

Teda v hľadanej sústave sa môžu vyskytnúť ako koeficienty $(a,b,c,d)$ len takéto čísla.

Dostávame takto napríklad sústavu
$$3x_1+3x_2-x_3-x_4=0$$
s jedinou rovnicou. (Mohli by sme pridať aj násobky tejto rovnice, ale tie nijako neovplyvnia množinu riešení sústavy.)

Ako kontrolu si môžeme vyskúšať, že zadané vektory sú skutočne riešeniami tejto sústavy (jednoducho dostadením).

Čo zatiaľ vieme o sústave, ktoré sme dostali? Vektory $(1,1,4,2)$, $(1,0,1,2)$, $(0,0,1,-1)$. Pretože množina riešení homogénnej sústavy tvorí vždy podpriestor, aj všetky ich lineárne kombinácie sú riešeniami, teda $[(1,1,4,2),(1,0,1,2),(0,0,1,-1)]=[(1,0,0,3),(0,1,0,3),(0,0,1,-1)]\subseteq S$, ak $S$ sme označili množinu riešení homogénnej sústavy s maticou $A=(3,3,-1,-1)$.

Ak vieme nejako zdôvodniť, že už nijaké ďalšie vektory nie sú riešeniami, tak by táto sústava bola jedným z možných riešení zadanej úlohy. Na to si stačí uvedomiť, že $h(A)=1$ a teda dimenzia priestoru riešení ja $4-h(A)$. (Vo všeobecnosti $n-h(A)$, kde $n$ je počet neznámych.) Teda podpriestor $S$ je 3-rozmerný a obsahuje 3 lineárne nezávislé vektory $(1,0,0,3)$, $(0,1,0,3)$, $(0,0,1,-1)$. Teda musí platiť priamo rovnosť $S=[(1,0,0,3),(0,1,0,3),(0,0,1,-1)]$.

Zistili sme, že homogénna sústava rovníc s maticou $A=(3,3,-1,-1)$ skutočne vyhovuje zadaniu.

**************

Nie je to jediné možné riešenie. Môžeme túto rovnicu vynásobiť nejakou nenulovou konštantou, prípadne pridávať ďalšie rovnice, ktoré sú jej násobkami. (Keby sme dostali viacero rovníc, mohli by sme pridávať lineárne kombinácie týchto rovníc.) Takáto zmena by neovplyvnila množinu riešení. Teda napríklad aj homogénna sústava určená maticou $(-3,-3,1,1)$ alebo tiež homogénna sústava určená maticou $\begin{pmatrix}3&3&-1&-1\\-3&-3&1&1\end{pmatrix}$ vyhovuje zadaniu úlohy.

***************

Ešte sa môžete pozrieť na dôkaz vety, že každý podpriestor je množinou riešení nejakej homogénnej sústavy. Keď sa pozriete na postup z tohoto dôkazu, je to presne ten istý postup, ktorý sme použili pri riešení tejto úlohy.

Trochu iný pohľad na to isté - úpravami na redukovaný tvar sme dostali:
$$
\begin{pmatrix}
1&1&4& 2\\
1&0&1& 2\\
0&0&1&-1
\end{pmatrix}
\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1&0&0& 3\\
0&1&0& 3\\
0&0&1&-1
\end{pmatrix}
$$

Teda náš podpriestor vieme zapísať ako $S=[(1,0,0,3),(0,1,0,3),(0,0,1,-1)]$.
Vieme napísať nejaké rovnice, ktoré spĺňajú všetky vektory z tohto podpriestoru?
Ak chceme dostať vektor, kde prvé tri súradnice (t.j. súradnice, kde mám vedúce jednotky) sú rovné $x_1$, $x_2$, $x_3$, tak ho môžem dostať iba ako lineárnu kombináciu s takýmito koeficientami:
$$x_1(1,0,0,3)+x_2(0,1,0,3)+x_3(0,0,1,-1).$$
Na štvrtej súradnici teda dostávam $3x_1+3x_2-x_3$. Teda každý vektor z $S$ vyhovuje rovnici $x_4=3x_1+x_2-x_3$, t.j.
$$3x_1+x_2-x_3-x_4=0.$$

Dostali sme jednu rovnicu, ktorej vyhovujú všetky vektory z $S$. Opäť stačí použiť argument, že priestor riešením má dimenziu $n-h(A)=4-1=3$. Z toho, že $d(S)=3$, vidíme že $S$ je rovný priestoru riešení takejto sústavy s jedinou rovnicou.