msleziak.com

Centrom grupy $G$ nazývame množinu $Z(G)=\{g\in G; (\forall h\in G)gh=hg\}$ takých prvkov, ktoré komutujú so všetkými prvkami $G$. Ukážte, že $Z(G)$ je normálna podgrupa grupy $G$.

V tejto ulohe som chcel obe casti - ze to je podgrupa a ze je normalna.

Obe casti su v podstate standardne priklady, tak naznacim jedno menej obvykle riesenie.

Zobrazenie $f_g \colon G\to G$ definovane ako $f_g(x)=gxg^{-1}$ je homomorfizmus a jeho jadro su presne prvky, ktore komutuju s prvkom $g$. Z toho sa da ukazat, ze $Z(G)=\bigcap_{g\in G} \operatorname{Ker} f_g$.

Ak este ukazete, ze prienik normalnych podgrup je normalna podgrupa, mate dokaz tvrdenia zo zadania. Dokaz o prieniku normalnych podgrup sa da najst napriklad na ProofWiki.

Linky

* ProofWiki: Center of Group is Normal Subgroup
* Mathematics Stack Exchange: Prove that the center of a group is a normal subgroup

Poznámky k odovzdaným riešeniam
Mali sme tvrdenie, že podgrupa komutatívnej grupy je určite normálna. To, že nejaká podgrupa je komutatívna ešte nestačí na to, aby bola aj normálna. (Stačí sa napríklad pozrieť na nejaký príklad dvojprvkovej podgrupy, ktorá nie je normálna.)
Teda argumentovať tým, že $Z(G)$ je komutatívna podgrupa na zdôvodnenie normálnosti nestačí.