Úloha 3.8 - Komutatívnosť

[JaroslavPetrucha]

Úloha 3.8. Nech $(G,*)$ je ľubovoľná grupa. Dokážte, že zobrazenie $g\mapsto g*g$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.

$ =>$
Máme vedomosť, že $f: g\mapsto g*g$ je homomorfizmus. Z toho vyplýva, že $\forall a, b \in G : f (a * b) = a * b * a * b$ z definície zobrazenia f, z homomorfickosti vieme $ f(a*b) = f(a) * f(b) = a*a*b*b$.

Z toho nám vyplýva, že $\forall a,b \in G : a*b*a*b = a*a*b*b$. Zľava prenásobíme $a^{-1}$, sprava $b^{-1}$. Keďže $a*b = b*a$ platí pre akúkoľvek dvojicu $a, b \in G$, tak je operácia $*$ komutatívna.

$<=$
Teraz vieme, že $a*b = b*a$. Tým pádom si môžme rozpísať $f(a*b)$ ako $a*b*a*b$, čo vďaka komutatívnosti môžme prehádzať, čiže $f(a*b) = a*a*b*b = f(a) * f(b)$, takže f je homomorfizmus. Kvantifikátory do každej časti si hádam každý domyslí.

Voilá, to by mal byť celý dôkaz.

[Martin Sleziak]

Voilá, to by mal byť celý dôkaz.

Skutočne aj je, značím si 1 bod.