msleziak.com

Nech $G=\{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d\end{pmatrix}; a,b,d\in\mathbb R; ad \neq 0\}$. Ukážte, že $G$ tvorí grupu s operáciou násobenia matíc.
Ďalej nech $N=\{A = \begin{pmatrix}1 & b \\ 0 & 1\end{pmatrix}; b\in\mathbb R \}$. Ukážte, že $N$ je normálna podgrupa grupy $G$ a že $G/N$ je komutatívna grupa.

Prva cast - ze to tvori grupu - je standardny typ prikladu. Pozrime sa na zvysne casti. Jedna moznost je skusit to priamo z definicie normalnej podgrupy a faktorovej grupy. Skusme to vetu o izomorfizme.

Chceli by sme najst homomorfizmus taky, ze $\operatorname{Ker} \varphi=N$.

Skusme $\varphi: G\to \mathbb R^*\times \mathbb R^*$ urceny predpisom
$$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d\end{pmatrix} \mapsto (a,d).$$
(Ako $\mathbb R^*$ oznacujem grupu $\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}$ s operaciou nasobenia. Ako $G\times H$ oznacujem obvykly sucin dvoch grup - operacie su po suradniach.)

Pomerne lahko sa overi, ze $\varphi$ je surjektivny homomorfizmus. Je jasne, ze $\operatorname{Ker} \varphi=N$. Vieme, ze jadro homomorfizmu je vzdy normalna podgrupa.

Dakeh z vety o izomorfizme mame
$$G/N \cong \mathbb R^*\times\mathbb R^*.$$
Tato grupa je komutativna.

Pridam este aj tuto linku.