msleziak.com

Zadanie prvej prémie som sformuloval takto:

Nech $\circ$ je binárna operácia na $G$ taká, že:
a) $\circ$ je asociatívna
b) $\circ$ má ľavý neutrálny prvok $e$, teda existuje $e\in G$ taký, že $e\circ a=a$ pre každé $a\in G$
c) Každý prvok má ľavý inverzný prvok, t.j. ku každému $a\in G$ existuje $b\in G$ také, že $ba=e$ (kde $e$ označuje ľavý neutrálny prvok).
Dokážte, že $(G,\circ)$ je grupa. Ukážte na príklade, že množina s asociatívnou binárnou operáciou, ktorá má ľavý neutrálny a pravý inverzný prvok ešte nemusí byť grupa.

Z mailu, čo som dostal:

Jaroslav Petrucha wrote: Zadanie prvej úlohy z prémie, konkrétne časť c) si mám interpretovať tak, že v danej rovnosti je neutrálny prvok nejaký neutrálny prvok (keďže nikde nie je obmedzenie, že ich nemôže byť viac), alebo to je jeden konkrétny neutrálny prvok (čiže a^(-1) * a = b^(-1) * b, pre ľubovoľné a,b z G)?

Uznávam, že zadanie je sformulované nejasne (a ani nesúhlasí s tým, čo sme definovali na prednáške ako ľavý inverzný prvok), tak ho upresním.
Predpokladáme, že v $G$ existuje prvok $e$, ktorý má dve vlastnosti:

• $(\forall a\in G)e\circ a=a$
• $(\forall a\in G)(\exists b\in G)b\circ a=e$

Teda prvok $e$ v oboch častiach je ten istý.

Čiže odpoveď je, že jeden existuje "ľavý inverz" vzhľadom na jeden konkrétny ľavý neutrálny prvok.

V druhej časti hľadáme kontrapríklad, kde sa zmení v druhej vlastnosti poradie na $a\circ b=a$.

Snáď teraz je to už trochu jasnejšie.