Pridanie rôznych koreňov toho istého ired. polynómu p(x)
Posted: Fri May 16, 2014 2:13 pm
Na poslednej prednáške sme sa naučili, že ak máme ireducibilný polynóm $p(x)\in F[x]$, tak vieme dostať rozšírenie poľa $F$, ktoré obsahuje jeho koreň. Navyše, najmenšie rozšírenie s touto vlastnosťou je v istom zmysle jednoznačné: Ak $u$ je koreň $p(x)$ v nejakom nadpoli, tak platí $F(u)\cong F[x]/(p(x))$, t.j. najmenšie nadpole obsahujúce $F$ a jeden koreň polynómu $p(x)$ musí byť izomorfné s $F[x]/(p(x))$.
Toto v istom zmysle hovorí, že korene ireducibilného polynómu nevieme rozlíšiť Konkrétne v takom zmysle, že keď pridáme niektorý koreň polynómu $p(x)$, až na izomorfizmus dostaneme vždy to isté pole. Skúsme sa na to pozrieť na konkrétnych príkladoch:
V príkladoch, ktoré sme zatiaľ spomenuli, to vždy vyšlo tak, že rozšírenie vyšlo rovnako bez ohľadu na to, ktorý koreň sme brali. Inak povedané, ak sme pridali jeden koreň, tak rozšírenie už obsahovalo aj ostatné korene. (T.j. polynóm $p(x)$ sa v rozšírení $F(u)$ dal rozložiť na koreňové činitele.) Prirodzená otázka je, či to platí vždy.
V skutočnosti to nie je pravda. Patrilo by sa teda asi nájsť nejaký kontrapríklad.
Asi by mohli byť jasné, že kontrapríklad nenájdeme pomocou polynómu stupňa 2. (Ak máme polynóm stupňa 2, ktorý má v $F(u)[x]$ faktor $(x-u)$, tak sa dá rozložiť na súčin dvoch polynómov stupňa 1.
Môžeme teda vyskúšať nejaké polynómy stupňa 3.
Skúsme prípad $F=\mathbb Q$ a $p(x)=x^3-2$. Tento polynóm má korene $\sqrt[3]2$, $\sqrt[3]2\omega$ a $\sqrt[3]2\omega^2$, kde $\omega=\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3=\frac{-1+\sqrt3i}2$ je komplexné číslo také, že $\omega^3=1$. Očividne, korene nie sú racionálne. Keďže ide o polynóm stupňa 3 a nemá racionálne korene, tak je ireducibilný.
Vidno, že $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ obsahuje iba reálne čísla. Teda v tomto rozšírení je iba jeden koreň tohoto polynómu a polynóm $p(x)$ sa v ňom nebude dať rozložiť na súčin polynómov stupňa jedna. Teda je to skutočne kontrapríklad ukazujúci, že odpoveď na našu otázku je: Nie neplatí to vždy.
Z vety z prednášky však vieme, že ak by sme rozšírili $\mathbb Q$ o iný koreň tohoto polynómu, tak dostaneme izomorfné pole. Konkrétne vieme, že rozšírenie $\mathbb Q(u)$ bude pozostávať z prvkov tvaru $a+bu+cu^2$, $a,b,c\in\mathbb Q$. Ak zoberieme iný koreň $v$ tak izomorfizmus medzi $\mathbb Q(u)$ a $\mathbb Q(v)$ je $a+bu+cu^2\mapsto a+bv+cv^2$.
Čo sa deje ak stupeň polynómu $p(x)$ je 1?
Ak máme polynóm stupňa 1, tak tento polynóm má koreň v $F$. V tomto prípade teda nič nepridáme a platí rovnosť $F=F(u)$. Môžete sa presvedčiť, že $F\cong F[x]/(x-u)$. (Toto je veľmi jednoduchý prípad izomorfizmu, ktorý sme zostrojili aj vo všeobecnej vete na prednáške.)
Funguje to iba pre ireducibilné polynómy.
Ešte raz zdôrazním, že veci o ktorých sme hovorili, platia iba pre ireducibilné polynómy.
Napríklad $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ nie je ireducilný nad $\mathbb Q$. Tento polynóm má korene $1$, $\omega$, $\omega^2$. (Číslo $\omega$ tu používam v rovnakom význame ako vyššie.)
Máme $\mathbb Q(1)=\mathbb Q$, zatiaľčo pridaním koreňa $\omega$ dostaneme pole $\mathbb Q(\omega)=\{a+b\omega; a,b\in\mathbb Q\}$. Tieto dve polia nie sú izomorfné. (Možno sa o tom presvedčiť napríklad tým, že si všimnime, že polynóm $x^2+x+1$ má koreň iba v jednom z nich.)
Toto v istom zmysle hovorí, že korene ireducibilného polynómu nevieme rozlíšiť Konkrétne v takom zmysle, že keď pridáme niektorý koreň polynómu $p(x)$, až na izomorfizmus dostaneme vždy to isté pole. Skúsme sa na to pozrieť na konkrétnych príkladoch:
- $F=\mathbb R$, $p(x)=x^2+1$. Korene polynómu $x^2+1$ sú $\pm i$, a pridaním ktoréhokoľvek z nich k $\mathbb R$ dostaneme $\mathbb C$. Dokonca platí, že ak vyberieme ktorýkoľvek z týchto koreňov a $\mathbb C$ vyjadríme pomocou jedného ako $\{a+bi; a,b\in\mathbb R\}$ a $\{a-bi; a,b\in\mathbb R\}$, tak máme veľmi prirodzený izomorfizmus $a+bi\mapsto a-bi$. (To je vlastne presne izomorfizmus z vety z prednášky.)
- $F=\mathbb Q$, $p(x)=x^2-2$. Polynóm $p(x)$ má dva korene $\pm\sqrt2$. Ľahko vidno, že $\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}=\{a-b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$. Čiže opäť dostaneme dokonca presne tú istú množinu.
V príkladoch, ktoré sme zatiaľ spomenuli, to vždy vyšlo tak, že rozšírenie vyšlo rovnako bez ohľadu na to, ktorý koreň sme brali. Inak povedané, ak sme pridali jeden koreň, tak rozšírenie už obsahovalo aj ostatné korene. (T.j. polynóm $p(x)$ sa v rozšírení $F(u)$ dal rozložiť na koreňové činitele.) Prirodzená otázka je, či to platí vždy.
Na prednáške presne táto otázka zaznela a ja som na ňu chybne odpovedal, že to tak je.Ak urobíme rozšírenie $F(u)$ poľa $F$ o koreň nejakého ireducibilného polynómu $p(x)\in F[x]$, bude sa dať v poli $F(u)$ už polynóm $p(x)$ rozložiť na koreňové činitele. (Inak povedané: Obsahuje $F(u)$ už "všetky možné" korene $p(x)$?)
V skutočnosti to nie je pravda. Patrilo by sa teda asi nájsť nejaký kontrapríklad.
Asi by mohli byť jasné, že kontrapríklad nenájdeme pomocou polynómu stupňa 2. (Ak máme polynóm stupňa 2, ktorý má v $F(u)[x]$ faktor $(x-u)$, tak sa dá rozložiť na súčin dvoch polynómov stupňa 1.
Môžeme teda vyskúšať nejaké polynómy stupňa 3.
Skúsme prípad $F=\mathbb Q$ a $p(x)=x^3-2$. Tento polynóm má korene $\sqrt[3]2$, $\sqrt[3]2\omega$ a $\sqrt[3]2\omega^2$, kde $\omega=\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3=\frac{-1+\sqrt3i}2$ je komplexné číslo také, že $\omega^3=1$. Očividne, korene nie sú racionálne. Keďže ide o polynóm stupňa 3 a nemá racionálne korene, tak je ireducibilný.
Vidno, že $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ obsahuje iba reálne čísla. Teda v tomto rozšírení je iba jeden koreň tohoto polynómu a polynóm $p(x)$ sa v ňom nebude dať rozložiť na súčin polynómov stupňa jedna. Teda je to skutočne kontrapríklad ukazujúci, že odpoveď na našu otázku je: Nie neplatí to vždy.
Z vety z prednášky však vieme, že ak by sme rozšírili $\mathbb Q$ o iný koreň tohoto polynómu, tak dostaneme izomorfné pole. Konkrétne vieme, že rozšírenie $\mathbb Q(u)$ bude pozostávať z prvkov tvaru $a+bu+cu^2$, $a,b,c\in\mathbb Q$. Ak zoberieme iný koreň $v$ tak izomorfizmus medzi $\mathbb Q(u)$ a $\mathbb Q(v)$ je $a+bu+cu^2\mapsto a+bv+cv^2$.
Čo sa deje ak stupeň polynómu $p(x)$ je 1?
Ak máme polynóm stupňa 1, tak tento polynóm má koreň v $F$. V tomto prípade teda nič nepridáme a platí rovnosť $F=F(u)$. Môžete sa presvedčiť, že $F\cong F[x]/(x-u)$. (Toto je veľmi jednoduchý prípad izomorfizmu, ktorý sme zostrojili aj vo všeobecnej vete na prednáške.)
Funguje to iba pre ireducibilné polynómy.
Ešte raz zdôrazním, že veci o ktorých sme hovorili, platia iba pre ireducibilné polynómy.
Napríklad $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ nie je ireducilný nad $\mathbb Q$. Tento polynóm má korene $1$, $\omega$, $\omega^2$. (Číslo $\omega$ tu používam v rovnakom význame ako vyššie.)
Máme $\mathbb Q(1)=\mathbb Q$, zatiaľčo pridaním koreňa $\omega$ dostaneme pole $\mathbb Q(\omega)=\{a+b\omega; a,b\in\mathbb Q\}$. Tieto dve polia nie sú izomorfné. (Možno sa o tom presvedčiť napríklad tým, že si všimnime, že polynóm $x^2+x+1$ má koreň iba v jednom z nich.)