msleziak.com

Zadania

Skupina A

• Nájdite všetky racionálne korene daného polynómu $f(x)\in\mathbb Z[x]$ a zistite ich násobnosť:
  $f(x)=6x^4+5x^3-8x^2-4x+3$.
• Nájdite normovaný najväčší spoločný deliteľ $d(x)=\gcd(f(x),g(x))$ a vyjadrite ho v tvare $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$ pre $f(x)=2x^4-x^3-4x+2$ a $g(x)=2x^3+x^2+x-1$ (nad $\mathbb R[x]$).
• Nájdite rozklad polynómu $x^4+x^2+1$ na ireducibilné polynómy nad $\mathbb Q$, $\mathbb R$ a $\mathbb C$.
• Dokážte, že okruhy $(2\mathbb Z,+,\cdot)$ a $(3\mathbb Z,+,\cdot)$ nie sú izomorfné.

Skupina B

• Nájdite všetky racionálne korene daného polynómu $f(x)\in\mathbb Z[x]$ a zistite ich násobnosť:
  $f(x)=6x^4-8x^3+5x^2-4x+1$.
• Nájdite normovaný najväčší spoločný deliteľ $d(x)=\gcd(f(x),g(x))$ a vyjadrite ho v tvare $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$ pre $f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2$, $g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$ (nad $\mathbb R[x]$).
• Nájdite rozklad polynómu $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ na ireducibilné polynómy nad $\mathbb Q$, $\mathbb R$ a $\mathbb C$.
• Dokážte, že $x^2+x+1\mid x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ v $\mathbb C[x]$.

Skupina C

• Nájdite všetky racionálne korene daného polynómu $f(x)\in\mathbb Z[x]$ a zistite ich násobnosť:
  $f(x)=6x^4-7x^3+8x^2-7x+2$.
• Nájdite normovaný najväčší spoločný deliteľ $d(x)=\gcd(f(x),g(x))$ a vyjadrite ho v tvare $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$ pre $f(x)=2x^4+3x^3-3x^2-5x+2$, $g(x)=2x^3+x^2-x-1$ (nad $\mathbb R[x]$).
• Nájdite rozklad polynómu $x^4+4x^2+16$ na ireducibilné polynómy nad $\mathbb Q$, $\mathbb R$ a $\mathbb C$.
• Zistite, či okruhy polynómov $\mathbb Z[x]$ a $\mathbb Q[x]$ sú izomorfné.

Skupina D

• Nájdite všetky racionálne korene daného polynómu $f(x)\in\mathbb Z[x]$ a zistite ich násobnosť:
  $f(x)=6x^4+x^3+8x^2-9x+2$.
• Nájdite normovaný najväčší spoločný deliteľ $d(x)=\gcd(f(x),g(x))$ a vyjadrite ho v tvare $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$ pre $f(x)=4x^4-2x^3-16x^2+5x+9$, $g(x)=2x^3-x^2-5x+4$ (nad $\mathbb R[x]$).
• Nájdite rozklad polynómu $16x^4+4x^2+1$ na ireducibilné polynómy nad $\mathbb Q$, $\mathbb R$ a $\mathbb C$.
• Ak $R$ je obor integrity a $x^2=1$, tak $x=1$ alebo $x=-1$.

Racionálne korene.

Toto je v podstate len mechanický výpočet na základe postupu, ktorý sme sa naučili. Takže tu asi nemám veľmi čo komentovať.

Napríklad pri polynóme $6x^4-7x^3+8x^2-7x+2$ ste si niektorí vcelku šikovne všimli, že pre záporné $x$ dostaneme kladnú hodnotu, takže záporné čísla vôbec netreba skúšať. (Podobne ak by boli všetky koeficienty kladné, nemusel by som skúšať kladné hodnoty.)

Rozklad na ireducibilné polynómy.

Keďže toto sú príklad z d.ú. 13, ktorá je ešte pred deadlinom, tak nebudem písať detailné riešenia. Ale aj tak napíšem pár drobností, ktoré vás môžu posunúť k riešeniu.

Pozrime sa napríklad na polynóm $x^4+x^2+1$. Viacerí ste použili substitúciu $x^2=t$ a vyriešili rovnicu $t^2+t+1$. Problém bol ako potom hľadať $x$, ktoré spĺňajú nejakú rovnicu typu $x^2=\frac{-1+i\sqrt3}2$. Toto je veľmi jednoduchý prípad binomickej rovnice - stačí si nalistovať príslušnú časť v poznámkach z prvého semestra, rovnice tvaru $x^n=z$, kde $z$ je komplexné číslo, vieme riešiť.

Iná možnosť: Vedel by som $x^4+x^2+1$ niečím prenásobiť, tak aby som dostal rovnicu, ktorú bude vedieť vyriešiť ľahšie? (Prenásobením som pridal nejaké korene, tie potom ale odoberiem preč.) Inak povedané: Pripomína to nejaký vzorec, ktorý poznáme?

Ďalšia možnosť: Vedel by som $x^4+x^2+1$ prepísať do tvaru $x^4+x^2+1=(\ldots)^2-(\ldots)^2$, kde výrazy v zátvorkách sú nejaké polynómy? Ak áno, môžem použiť známy rozklad pre $a^2-b^2$ a možno si tak zjednoduším pôvodnú úlohu.

(V ostatných skupinách boli úlohy podobnej náročnosti. Buď to bol polynóm, ktorý sa dá dostať z $x^4+x^2+1$ vhodnou substitúciou, len jedna skupina mala $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^4+x^2+1)$, ktorý sa bude dať rozložiť, ak viete rozložiť $x^4+x^2+1$; a sú tam samozrejme aj iné možnosti, ako to riešiť.)

Pripomeniem ešte pár veci, ktoré sme si hovorili na cviku, ale z písomky bolo zjavné, že nie všetci ich vedia:

• Ireducibilný polynóm nad $\mathbb C$ môže byť iba polynóm stupňa 1.
• Ireducibilný polynóm nad $\mathbb R$ môže byť stupňa 1 alebo stupňa 2.
• Pre $\mathbb Q$ nemáme takéto jednoduché pravidlo ako pre $\mathbb R$ a $\mathbb C$.
• Ak polynóm stupňa 4 (alebo vyššieho) nemá v poli $F$ korene, neznamená to ešte, že je ireducibilný. (Príklady sme videli na cviku aj na prednáške - príklad 4.5.23 v poznámkach.) Pre polynómy stupňov 2 a 3 by to fungovalo. (Ak taký polynóm nemá koreň, tak už je ireduciblný.) Pre polynóm stupňa 4 je stále možné, že sa bude dať nejako rozložiť na súčin dvoch polynómov stupňa 2.

Výpočet a vyjadrenie n.s.d.

Opäť v podstate štandardný postup, takže len sem napíšem riešenia.

Ak to rátate, oplatí sa robiť si nejakú skúšku správnosti; t.j. skúsiť si dosadiť pár hodnôt. Ak vám vyšlo, že $\gcd(f(x),g(x))=x-\frac12$, tak sa oplatí skontrolovať, či naozaj $\frac12$ je koreňom oboch polynómov $f(x)$ aj $g(x)$.

Ešte poznamenám, že najťažšia úloha bola v skupine C. (Vychádzali tam zlomky, bolo treba viac krokov.) Túto skupinu som bodoval ale v tomto príklade najmiernejšie. (T.j. keď bolo jasné, že ste robili správny postup a viete, čo treba robiť, len niekde sú numerické chyby, tak som to uznal za plný počet.)

Skupina A

$f(x)=2x^4-x^3-4x+2$ a $g(x)=2x^3+x^2+x-1$

$$
\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
2x^4-x^3-4x+2 & 1 & 0 & \\\hline
2x^3+x^2+x-1 & 0 & 1 & \\\hline
-2x+1 & 1 & -x+1 & \\\hline
x-\frac12 & -\frac12 & \frac x2-\frac12 & \\\hline
\end{array}
$$

Skupina B

$f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2$, $g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
x^4+2x^3-x^2-4x-2 & 1 & 0 & \\\hline
x^4+x^3-x^2-2x-2 & 0 & 1 & \\\hline
x^3-2x & 1 & -1 & r_1-r_2 \\\hline
x^2-2 & -x-1 & 2+x & r_2-(x+1)r_3 \\\hline
\end{array}$$

Skupina C

$f(x)=2x^4+3x^3-3x^2-5x+2$, $g(x)=2x^3+x^2-x-1$

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
2x^4+3x^3-3x^2-5x+2 & 1 & 0 & & \\\hline
2x^3+x^2-x-1 & 0 & 1 & & \\\hline
-3x^2-3x+3 & 1 & -x-1 & r_1-(x+1)r_2 & \\\hline
x^2+x-1 & -\frac13 & \frac{x+1}3 & & \\\hline
2x-2 & \frac{2x-1}3 & \frac{-2x^2-x+4}3 & r_2-(2x-1)r_4 & 1-\frac{(2x-1)(x+1)}3=\frac{-2x^2-x+4}3 \\\hline
x-1 & \frac{2x-1}6 & \frac{-2x^2-x+4}6 & & \\\hline
1 & \frac{-x^2-3x}6 & \frac{2x^3+5x^2+6}6 & r_4-(x+2)r_6 & \frac13+\frac{(x+2)(2x-1)}6=\frac26+\frac{x^2+3x-2}6=\frac{x^2+3x}6 \\
&&&& \frac{x+1}3-\frac{(x+2)(-2x^2-x+4)}6=\frac{2x+2}6-\frac{-2x^3-5x^2+2x+8}6= \\
&&&& =\frac{2x^3+5x^2+6}6 \\\hline
\end{array}$$


Skupina D

$f(x)=4x^4-2x^3-16x^2+5x+9$, $g(x)=2x^3-x^2-5x+4$

Ak si všimneme, že $1$ je koreň $f(x)$ aj $g(x)$, tak môžeme oba polynómy vydeliť $x-1$.

$f(x)=4x^4-2x^3-16x^2+5x+9=(x-1)(4x^3+2x^2-14x-9)$

$g(x)=2x^3-x^2-5x+4=(x-1)(2x^2+x-4)$

$$
\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
4x^3+2x^2-14x-9 & 1 & 0 & \\\hline
2x^2+x-4 & 0 & 1 & \\\hline
-6x-9 & 1 & -2x & r_1-2xr_2 \\\hline
2x+3 & \frac13 & -\frac23x & \\\hline
1 & \frac{-x+1}3 & \frac{2x^2-2x+3}3 & r_2-(x-1)r_3 \\\hline
\end{array}
$$

Dostávame $d(x)=x-1=u(x)f(x)+v(x)g(x)$ pre $u(x)=\frac{-x+1}3$ a $v(x)=\frac{2x^2-2x+3}3$.

Teória

Skupina A

Dokážte, že okruhy $(2\mathbb Z,+,\cdot)$ a $(3\mathbb Z,+,\cdot)$ nie sú izomorfné.

Robili sme na cviku. Napríklad si uvedomiť, že okruhový homomorfizmus je súčasne aj grupový homomorfizmus. Keďže ide o cyklické grupy, grupový homomorfizmus musí generátor zobraziť na generátor. Dostaneme takto jediné dva grupové homomorfizmy medzi $(2\mathbb Z,+)$ a $(3\mathbb Z,+)$. Stačí skontrolovať, či sú to aj okruhové homomorfizmy. (Nie sú.)

Ten istý príklad sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=38

Skupina B

Dokážte, že $x^2+x+1\mid x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ v $\mathbb C[x]$.

Vyriešené na fóre: viewtopic.php?t=457

Skupina C

Zistite, či okruhy polynómov $\mathbb Z[x]$ a $\mathbb Q[x]$ sú izomorfné.

Koľko deliteľov jednotky je v $\mathbb Z[x]$? Koľko deliteľov jednotky je v $\mathbb Q[x]$? (Ak je ich počet/kradinalita rôzna, nemôžu byť tieto okruhy izomorfné.)

Existuje pre každý polynóm $g(x)\in\mathbb Z[x]$ iný polynóm $f(x)\in\mathbb Z[x]$ taký že $f(x)+f(x)=g(x)$? Ako to je s podobnou vlastnosťou v $\mathbb Q[x]$?

Skupina D

]Ak $R$ je obor integrity a $x^2=1$, tak $x=1$ alebo $x=-1$.

$x^2=1$ $\Rightarrow$ $x^2-1=0$ $\Rightarrow$ $(x-1)(x+1)=0$ $\Rightarrow$ $x=1$ $\lor$ $x=-1$

Myslím, že hinty, ktoré som napísal minule boli pomerne podrobné a nemalo by byť ťažké pomocou nich príklady doriešiť, ale skúsim aj tak napísať niečo trochu detailnejšie.

Martin Sleziak wrote: Rozklad na ireducibilné polynómy.

Keďže toto sú príklad z d.ú. 13, ktorá je ešte pred deadlinom, tak nebudem písať detailné riešenia. Ale aj tak napíšem pár drobností, ktoré vás môžu posunúť k riešeniu.

Pozrime sa napríklad na polynóm $x^4+x^2+1$. Viacerí ste použili substitúciu $x^2=t$ a vyriešili rovnicu $t^2+t+1$. Problém bol ako potom hľadať $x$, ktoré spĺňajú nejakú rovnicu typu $x^2=\frac{-1+i\sqrt3}2$. Toto je veľmi jednoduchý prípad binomickej rovnice - stačí si nalistovať príslušnú časť v poznámkach z prvého semestra, rovnice tvaru $x^n=z$, kde $z$ je komplexné číslo, vieme riešiť.

Iná možnosť: Vedel by som $x^4+x^2+1$ niečím prenásobiť, tak aby som dostal rovnicu, ktorú bude vedieť vyriešiť ľahšie? (Prenásobením som pridal nejaké korene, tie potom ale odoberiem preč.) Inak povedané: Pripomína to nejaký vzorec, ktorý poznáme?

Ďalšia možnosť: Vedel by som $x^4+x^2+1$ prepísať do tvaru $x^4+x^2+1=(\ldots)^2-(\ldots)^2$, kde výrazy v zátvorkách sú nejaké polynómy? Ak áno, môžem použiť známy rozklad pre $a^2-b^2$ a možno si tak zjednoduším pôvodnú úlohu.

(V ostatných skupinách boli úlohy podobnej náročnosti. Buď to bol polynóm, ktorý sa dá dostať z $x^4+x^2+1$ vhodnou substitúciou, len jedna skupina mala $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^4+x^2+1)$, ktorý sa bude dať rozložiť, ak viete rozložiť $x^4+x^2+1$; a sú tam samozrejme aj iné možnosti, ako to riešiť.)

Pripomeniem ešte pár veci, ktoré sme si hovorili na cviku, ale z písomky bolo zjavné, že nie všetci ich vedia:

• Ireducibilný polynóm nad $\mathbb C$ môže byť iba polynóm stupňa 1.
• Ireducibilný polynóm nad $\mathbb R$ môže byť stupňa 1 alebo stupňa 2.
• Pre $\mathbb Q$ nemáme takéto jednoduché pravidlo ako pre $\mathbb R$ a $\mathbb C$.
• Ak polynóm stupňa 4 (alebo vyššieho) nemá v poli $F$ korene, neznamená to ešte, že je ireducibilný. (Príklady sme videli na cviku aj na prednáške - príklad 4.5.23 v poznámkach.) Pre polynómy stupňov 2 a 3 by to fungovalo. (Ak taký polynóm nemá koreň, tak už je ireduciblný.) Pre polynóm stupňa 4 je stále možné, že sa bude dať nejako rozložiť na súčin dvoch polynómov stupňa 2.

Polynóm $x^4+x^2+1$

Nájdenie komplexných koreňov: Chceme riešiť v komplexných číslach rovnicu $x^4+x^2+1=0$. Po substitúcii $t=x^2$ dostaneme kvadratickú rovnicu $t^2+t+1$, ktorá má korene $t_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt3}2$. Teraz treba ešte nájsť $x$ také, že $x^2=x_{1,2}$. Na to sa oplatí najprv korene previesť do goniometrického tvaru
$$
t_1 = \cos \frac{2\pi}3+\sin\frac{2\pi}3,\\
t_2 = \cos \frac{-2\pi}3+\sin\frac{-2\pi}3.
$$
Potom štandardným postupom vieme nájsť riešenia rovníc $x^2=t_1$ a $x^2=t_1$, dostaneme konkrétne
$$
x_1 = \cos \frac{\pi}3+i\sin\frac{\pi}3=\frac12+i\frac{\sqrt3}2,\\
x_2 = \cos \frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3=-\frac12+i\frac{\sqrt3}2,\\
x_3 = \cos \frac{-2\pi}3+i\sin\frac{-2\pi}3=-\frac12-i\frac{\sqrt3}2,\\
x_4 = \cos \frac{-\pi}3+i\sin\frac{-\pi}3=\frac12-i\frac{\sqrt3}2.
$$
Dostali sme rozklad $x^4+x^2+1=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ nad poľom $\mathbb C$.
Žiaden z koreňov nie je reálne číslo, čiže polynómy v rozklade nad $\mathbb R$ musia mať stupeň aspoň 2. Nájdeme ich tak, že popárujeme dvojice komplexne združených koreňov. Konkrétne
$(x-x_1)(x-x_4)=(x^2-x+1)$
$(x-x_2)(x-x_3)=(x^2+x+1)$
Dostávame rozklad
$$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1),$$
ktorý je rozkladom zadaného polynómu nad $\mathbb R$ aj nad $\mathbb C$.

Vhodné prenásobenie.
Ak si všimneme, že
$(x^4+x^2+1)(x^2-1)=x^6-1$,
tak dostávame polynóm $x^6-1$, ktorý vieme rozložiť veľmi ľahko. Rovnica $x^6=1$ je opäť binomická rovnica, tentokrát však veľmi jednoduchá: Vieme, že korene vytvoria pravidelný šesťuholník na jednotkovej kružnici, jeden z koreňov je 1. Teda korene sú $\pm 1$ a $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$.
Máme teda rozklad $x^6-1=(x-1)(x+1)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.
Keď odstránime časť $x^2-1=(x-1)(x+1)$, ktorú sme umelo pridali, dostaneme znovu ten istý rozklad ako minule: $x^4+x^2+1=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.

Rozdiel dvoch štvorcov. Ak si všimneme, že $x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2$, tak použitím známeho vzorca $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ dostaneme
$$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$
Potom už stačí zrátať korene dvoch kvadratických polynómov, ktoré sme takto dostali.

Polynómy $x^4+4x^2+16$ a $16x^4+4x^2+1$.

Ak v $t^4+t^2+1$ dosadíme $t=2x$, dostaneme presne polynóm $16x^4+4x^2+1$. Ak dosadíme $t=x/2$, dostaneme $\frac1{16}(x^4+4x^2+16)$.
Môžeme teda použiť rozklad pre $t^4+t^2+1$ (ktorý sme pred chvíľou zrátali) a potom použiť substitúciu. Alebo môžeme jednoducho použiť rovnaké metódy ako v predošlej časti.

Polynóm $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$.
Ľahko si môžeme všimnúť, že tento polynóm sa dá rozložiť viacerými spôsobmi:
$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^4+x^2+1)$; potom nám zostáva rozložiť $x^4+x^2+1$, čo je úloha, ktorú sme riešili vyššie.
$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^3+1)$; potom treba vyriešiť kvadratickú rovnicu $x^2+x+1=0$ a nájsť riešenia rovnice $x^3+1=0$. (Túto druhú rovnicu buď vyriešime ako binomickú rovnicu, alebo si všimneme, že jeden koreň je jednotka a rozložíme ako $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, čím sa opäť dostaneme ku kvadratickej rovnici.)
$(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)=x^6-1$; čo je opäť polynóm, ktorý vieme rozložiť. Na konci ale musíme odstrániť faktor $(x-1)$, ktorý sme umelo pridali.