Úloha 4.6. $aba^{-1}b^{-1}\in A\cap B$
Posted: Sun Jun 15, 2014 11:15 pm
Úloha 4.6. Ak $A$ a $B$ sú normálne podgrupy $G$, $a\in A$ a $b\in B$, tak $aba^{-1}b^{-1}\in A\cap B$.
$x := aba^{-1}b^{-1}$
Chceme dokazat, ze $x \in A \wedge x \in B$.
Kedze A je norm. grupa, tak $bAb^{-1} \subseteq A$. Teda plati $y=ba^{-1}b^{-1} \in A$. Kedze $A$ je uzavreta na BO, tak $ay = aba^{-1}b^{-1} \in A$.
Kedze B je norm. grupa, tak $aBa^{-1} \subseteq B$. Teda plati $aba^{-1} \in B$ a potom $(aba^{-1})b^{-1} \in B$
$x := aba^{-1}b^{-1}$
Chceme dokazat, ze $x \in A \wedge x \in B$.
Kedze A je norm. grupa, tak $bAb^{-1} \subseteq A$. Teda plati $y=ba^{-1}b^{-1} \in A$. Kedze $A$ je uzavreta na BO, tak $ay = aba^{-1}b^{-1} \in A$.
Kedze B je norm. grupa, tak $aBa^{-1} \subseteq B$. Teda plati $aba^{-1} \in B$ a potom $(aba^{-1})b^{-1} \in B$