Prednášky ZS 2014/15

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška: (22.9.)
Po nejakom stručnom historickom úvode sme začali prechádzať jednotlivé axiómy systému ZFC. Stihli sme: axiómu extenzionality, axiómu existencie, axiómu dvojice, axiómu zjednotenia, schémy axióm vymedzenia. Ukázali sme, že existuje zjednotenie dvoch množín, že existuje jednoprvková množina {a} pre ľubovoľné a a tiež existenciu prázdnej množiny. (To bola posledná vec, ktorú sme stihli. V texte k prednáške je to tvrdenie 2.3.6. Veci, ktoré sme hovorili na prvej prednáške, sú v texte v kapitolách 2.2 a 2.3. Nerobili sme veci z časti 2.1 - tie by sme mali stručne prejsť na cvičeniach.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška: (29.9.)
Axiomatický systém ZFC. Dokončili sme zvyšné axiómy. Axióma potenčnej množiny, schéma axióm substitúcie. Axióma regularity, ukázali sme si, ako z nej vyplýva $x\notin x$. Axióma nekonečnej množiny.
(Schému axiómu substitúcie na tejto prednáške nebudeme používať vôbec, axiómy regularity použijeme iba vo forme jej dôsledku, že $x\notin x$ a axiómu nekonečnej množiny budeme potrebovať až na konci semestra pri konštrukcii prirodzených čísel. Napriek tomu, že niektoré z nich budeme používať menej, sme chceli vymenovať všetky axiómy systému ZFC.)
Axióma výberu. Trochu sme si spomenuli, že viaceré dôležité matematické výsledky sa opierajú o axiómu výberu, má však aj niektoré paradoxné dôsledky. (V rámci tejto prednášky sa k axióme výberu asi dostaneme iba zbežne.)
Operácie s množinami. Pripomenuli sme si definície $A\subseteq B$, $A\cap B$, $A\cup B$, $A\setminus B$, $A\triangle B$. Spomenuli sme si nejaké základné výsledky o nich.
Zadefinovali sme $\bigcup\mathcal{S}$ a $\bigcap\mathcal{S}$ (prienik a zjednotenie systému množín); ešte sa k nim vrátime na budúcej prednáške.

[Martin Sleziak]

3. prednáška: (6.10.)
Zjednotenia a prienik systému množín.
Vrátili sme sa k definícii $\bigcup\mathcal{S}$ a $\bigcap\mathcal{S}$. Overili sme, že $B\cap \bigcup_{A\in\mathcal S} A= \bigcup_{A\in\mathcal S} (B\cap A)$.
Usporiadaná dvojica, karteziánsky súčin. Zadefinovali sme usporiadanú dvojicu a overili jej základnú vlastnosť. Pomocou pojmu usporiadanej dvojice sme mohli zadefinovať aj karteziánsky súčin. Tiež sme si rozmysleli, že existenciu karteziánskeho súčinu množín $A\times B$ vieme overiť pomocou schémy axióm vymedzenia.
Relácie. Skladanie relácií, a jeho vlastnosti. ($R\circ id_A=R$, $id_A\circ S=S$, $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\inv{(\inv R)}=R$.)

[Martin Sleziak]

4. prednáška (13.10):
Skladanie relácií. Ukázali sme, že $(S\circ R)^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}$.
Funkcie. Definícia zobrazenia, skladanie zobrazení. Ukázali sme, že $f^{-1}$ je zobrazenie $\Leftrightarrow$ $f$ je bijekcia. (Dôkaz tvrdenia 3.2.8 - ekvivalentná definícia inverzného zobrazenia - sme preskočili.)
Zadefinovali sme vzor a obraz množiny. Ukázali sme niektoré časti tvrdenia 3.2.13. (Niektoré ďalšie sa objavia na cvičeniach alebo ako domáca úloha.)
Z tvrdenia 3.2.14 sme ukázali časť o surjekcii. Ukázali sme si, že dôkaz využíva axiómu výberu.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (20.10):
Čiastočné usporiadania. Definícia čiastočne usporiadanej množiny a lineárne usporiadanej množiny. Príklady. Definícia nasledovníka/predchodcu, Hasseho diagram. Minimálny, najmenší, maximálny, najväčší prvok.
(Preskočili sme ostré čiastočné usporiadanie, stručne ho spomenieme, keď ho budeme potrebovať. Preskočili sme kapitolu o dobre usporiadaných množinách. Ak stihneme, tak sa k nim vrátime na konci semestra. Ak nie, tak si o nich povieme iba to, čo budeme potrebovať.)
Kardinalita. Zadefinovali sme, kedy $|X|=|Y|$ a $|X|\le|Y|$ a ukázali sme niektoré jednoduché vlastnosti.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (27.10):
Cantor-Bernsteinova veta. Ukázali sme si dva dôkazy tejto vety.
Kardinálna aritmetika. Zadefinovali sme sčitovanie, násobenie a umocňovanie kardinálov a začali sme dokazovať niektoré ich základné vlastnosti. Zatiaľ sme stihli dokázať že $|\mathcal P(X)|=2^{|X|}$ a viaceré vlastnosti sčitovania kardinálov. (Niektoré z ďalších vlastností na prednáške preskočíme a budeme sa im venovať na cviku. Takisto sme na cviko odložili dôkaz toho, že umocňovanie kardinálov je dobre definované.)

Chvíľu sme sa zastavili aj pri tom, čomu sa rovná $0^0$: viewtopic.php?f=22&t=343

Identita $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$ a niektoré ďalšie identity týkajúce sa kardinálneho čísla $\aleph_0$ sa dajú porozprávať aj menej formálne pre stredoškolákov - Hilbertov hotel: viewtopic.php?f=22&t=467

[Martin Sleziak]

7. prednáška (3.11):
Dobre usporiadané množiny. Definícia, príklady, veta o indukcii na dobre usporiadaných množinách.
"Súčet" a antilexikografický súčin dobrých usporiadaní.
Trochu sme si spomenuli to, na čo sú dobre usporiadané množiny dobré:
* Axióma výberu je ekvivalentná s princípom dobrého usporiadania. Takže vďaka tomu môžeme používať istý druh indukcie na ľubovoľnej množine.
* Jedna z vecí, ktorá sa dá dokázať pomocou transfinitnej indukcie, je fakt, že pre nekonečné kardinálne čísla platí $a\cdot a=a$. (Dôkaz využíva axiómu výberu. Pri tomto fakte sa v súvislosti s násobením kardinálov ešte pristavíme.)
* Dajú sa konštruovať rôzne príklady množín s neobvyklými vlastnosťami - napríklad sa dá dokázať, že existuje podmnožina roviny, ktorá pretína každú priamku práve v dvoch bodoch. (Niekedy sa takáto množina nazýva aj Mazurkiewiczova množina.)
Dôkazy týchto tvrdení si však vyžadujú vedieť toho o dobre usporiadaných množinách viac než stihneme tento semester prebrať.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (10.11):
Kardinálna aritmetika, Vlastnosti násobenia kardinálov. Vlastnosti kardinálneho umocňovania: Ukázali sme, že $a^2=a\cdot a$, $a\le b$ $\Rightarrow$ $a^c\le b^c$, $(a^b)^c=a^{bc}$.
Na cviko sme nechali dôkazy, že $c\le a$ $\Rightarrow$ $c^a\le c^b$, $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$, $(ab)^c=a^c\cdot b^c$.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (24.11):
Umocňovanie kardinálov. Ukázali sme si, že $a^b\le 2^{ab}$. (Z čoho ako dôsledok dostaneme $a\le 2^a$.)
Cantorova veta. Cantorova veta: $a<2^a$ resp. $|A|<|\mathcal P(A)|$. Ukázali sme si všeobecný dôkaz, potom sme si ho ešte raz ilustrovali na príklade $A=\mathbb N$, aby bolo jasnejšie, prečo sa metóde dôkazu hovorí Cantorova diagonálna metóda.
Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Zjednotenie spočítateľne veľa spočítateľných množín je opäť spočítateľné. Množina racionálnych čísel $\mathbb Q$ je spočítateľná. Ľubovoľná množina disjunktných netriviálnych intervalov na priamke musí byť spočítateľná.