Viacero rôznych možností riešenia si môžete pozrieť napríklad tu: https://math.stackexchange.com/question ... -inductionDokážte (matematickou indukciou alebo inak), že
$$\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}\ge\sqrt{n}}.$$
Kroky použité vo vašom dôkaze zdôvodnite.
Príklad na MI: $\sum\frac1{\sqrt{k}}\ge\sqrt{n}$
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Príklad na MI: $\sum\frac1{\sqrt{k}}\ge\sqrt{n}$
Zadanie na dnešenej písomke bolo:
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Príklad na MI: $\sum\frac1{\sqrt{k}}\ge\sqrt{n}$
Nejaké drobné komentáre k problémom, ktoré sa vyskytovali vo vašich riešeniach:
Zdá sa, že niektorým z Vás nebolo jasné, čo znamená zápis použitý v zadaní.
$$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\dots+\frac1{\sqrt{n}}$$
T.j. máme napríklad:
* pre $n=1$: $\frac1{\sqrt1}=1$
* pre $n=2$: $\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}=1+\frac1{\sqrt2}$
* pre $n=3$: $\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}=1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}$
atď.
Ak overujete, či platí nejakú nerovnosť (napríklad v tomto prípade ste vo väčšine riešení dospeli k tomu, že potrebujete nerovnosť $\sqrt{n}+\frac1{\sqrt{n+1}} \ge \sqrt{n+1}$) a robíte to tak, že túto nerovnosť postupne upravujete, tak si treba rozmyslieť, či jednotlivé kroky možno otočiť. (Napríklad ak ste v niektorom kroku umocňovali, to nie je ekvivalentná úprava. Ale ak navyše viete, že obe strany nerovnosti sú nezáporné, tak je takýto krok v poriadku.)
Veľa z vás aspoň naznačilo v riešení, že uvedené kroky potom treba čítať v opačnom poradí. Takéto riešenia som bral ako správne (ak tam neboli iné problémy); ak ste sa vôbec nezaoberali tým, či postup možno otočiť, tak som za to strhol 0.5 bodu.
Zdá sa, že niektorým z Vás nebolo jasné, čo znamená zápis použitý v zadaní.
$$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\dots+\frac1{\sqrt{n}}$$
T.j. máme napríklad:
* pre $n=1$: $\frac1{\sqrt1}=1$
* pre $n=2$: $\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}=1+\frac1{\sqrt2}$
* pre $n=3$: $\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}=1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}$
atď.
Ak overujete, či platí nejakú nerovnosť (napríklad v tomto prípade ste vo väčšine riešení dospeli k tomu, že potrebujete nerovnosť $\sqrt{n}+\frac1{\sqrt{n+1}} \ge \sqrt{n+1}$) a robíte to tak, že túto nerovnosť postupne upravujete, tak si treba rozmyslieť, či jednotlivé kroky možno otočiť. (Napríklad ak ste v niektorom kroku umocňovali, to nie je ekvivalentná úprava. Ale ak navyše viete, že obe strany nerovnosti sú nezáporné, tak je takýto krok v poriadku.)
Veľa z vás aspoň naznačilo v riešení, že uvedené kroky potom treba čítať v opačnom poradí. Takéto riešenia som bral ako správne (ak tam neboli iné problémy); ak ste sa vôbec nezaoberali tým, či postup možno otočiť, tak som za to strhol 0.5 bodu.