Súčasťou definície zobrazenia $f:A\to B$ sú aj množiny A, B
Posted: Thu Oct 02, 2014 7:51 pm
Len chcem pripomenúť ešte raz vec, o ktorej sme sa trochu rozprávali aj dnes na cviku.
Ak chceme definovať zobrazenie $f\colon A\to B$, tak nestačí definovať predpis pre $f(x)$, súčasťou definície sú aj množiny A, B.
(To je vlastne presne to, čo sa hovorí v definícii rovnosti zobrazení. Zobrazenia $f\colon A\to B$ a $g\colon C\to D$ sa rovnajú ak $A=C$, $B=D$ a rovnajú sa aj funkčné hodnoty, t.j. pre každé $x\in A$ platí $f(x)=g(x)$.)
Niektoré kontexty, kedy je tento detail dôležitý:
Ak chceme definovať zobrazenie $f\colon A\to B$, tak nestačí definovať predpis pre $f(x)$, súčasťou definície sú aj množiny A, B.
(To je vlastne presne to, čo sa hovorí v definícii rovnosti zobrazení. Zobrazenia $f\colon A\to B$ a $g\colon C\to D$ sa rovnajú ak $A=C$, $B=D$ a rovnajú sa aj funkčné hodnoty, t.j. pre každé $x\in A$ platí $f(x)=g(x)$.)
Niektoré kontexty, kedy je tento detail dôležitý:
- Keď hovoríme o skladaní zobrazení. Ak chceme skladať zobrazenia $f\colon A\to B$ a $g\colon C\to D$, tak na to, aby sa vôbec dalo definovať $g\circ f$ potrebujeme rovnosť $B=C$.
- Keď hovoríme o surjektívnosti. V definícii surjektívnosti máme podmienku, že pre každý prvok $y\in B$ existuje $x\in X$ také, že $f(x)=y$. Pokiaľ by sme mali zadaný iba predpis pre $f(x)$ a nevedeli, čomu presne sa rovná množina $B$, tak nevieme túto podmienku overiť. (Napríklad $f(x)=\sin x$ je surjektívne zobrazenie, ak ho chápeme ako zobrazenie $\mathbb R\to[-1,1]$; ale nie, ak ho chápeme ako zobrazenie $\mathbb R\to\mathbb R$.