$A\times B\subseteq A\times C$ vs. $B\subseteq C$

[Martin Sleziak]

Túto úlohu sme dnes robili na cviku:

Dokážte, že pre $A\ne\emptyset$ platí $A\times B\subseteq A\times C$ $\Leftrightarrow$ $B\subseteq C$. Platí toto tvrdenie bez predpokladu $A\ne\emptyset$?

Keďže na tabuli sme ju zapísali nie celkom poriadne, skúsim sem ešte raz detailnejšie napísať riešenie.

Napíšme si ešte predtým, že znamená $B\subseteq C$:
$$(\forall x) x\in B \Rightarrow x\in C$$
Tiež si uvedomme, čo znamená $A\times B\subseteq A\times C$.
$$(\forall a,b) (a,b)\in A\times B \Rightarrow (a,b)\in A\times C$$
Túto implikáciu môžeme prepísať aj ako
$$(\forall a,b)a \in A\land b\in B \Rightarrow a\in A\land b\in C.$$

Dôkaz
$\boxed{\Rightarrow}$ Predpokladáme, že $A\times B\subseteq A\times C$. To znamená, že pre ľubovoľné $a$, $b$ platí
$$(a,b)\in A\times B \Rightarrow (a,b)\in A\times C.$$

Súčasne vieme, že množina $A$ je neprázdna, čiže existuje aspoň jeden prvok $a\in A$. Nejaký taký prvok označme ako $a_0$. Pre tento prvok tiež platí implikácia
$$(a_0,b)\in A\times B \Rightarrow (a_0,b)\in A\times C.$$
Ak teraz zoberieme ľubovoľné $b\in B$, tak preň platí $(a_0,b)\in A\times B$. Z inklúzie $A\times B\subseteq A\times C$ dostaneme, že potom $(a_0,c)\in A\times C$, čo znamená, že $b\in C$.

Ukázali sme, že ľubovoľný prvok patriaci do $B$ patrí aj do $C$, čo znamená, že platí $B\subseteq C$.

$\boxed{\Leftarrow}$ Teraz predpokladáme, že $B\subseteq C$. Nech $(a,b)$ je ľubovoľný prvok množiny $A\times B$. To znamená, že $a\in A$ a $b\in B$.

Potom z $B\subseteq C$ dostaneme, že aj $b\in C$. To ale znamená, že $(a,b)\in A\times C$.

Ukázali sme, že ľubovoľný prvok množiny $A\times B$ je aj prvkom $A\times C$, čím je dokázaná inklúzia $A\times B\subseteq A\times C$ $\hspace{2cm}\square$

Oplatí sa všimnúť, že v implikácii $\Leftarrow$ sme nepotrebovali predpoklad $A\ne\emptyset$.

Pre ľubovoľné množiny $B$, $C$ platí $\emptyset\times B=\emptyset \subseteq \emptyset\times C$, čo znamená, že ak si vezmeme hocijaké množiny $B$, $C$ také, že $B$ nie je podmnožinou $C$, dostaneme kontrapríklad ukazujúci, že predpoklad $A\ne\emptyset$ bol v implikácii $\Rightarrow$ skutočne potrebný.