O operácii $a\ast b=ab+a+b$
Posted: Thu Oct 09, 2014 1:38 pm
Na cviku sme riešili takúto úlohu:
Ľahko sa dá skontrolovať, že
$f\colon \mathbb R\setminus\{-1\} \to \mathbb R\setminus\{0\}$
$f(a)=a+1$
je izomorfizmus.
Každý vidí, že to je bijekcia. Chceme overiť, či to je aj homomorfizmus. Teda chceme overiť, či $f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)$. Pokúsme sa upraviť výraz na ľavej a na pravej strane:
$f(a\ast b)=a\ast b+1 = ab+a+b+1=(a+1)(b+1)$
$f(a)\cdot f(b) = (a+1)(b+1)$
Dostali sme ten istý výraz, teda je to skutočne homomorfizmus.
Využitie izomorfizmu na dôkaz, že ide o grupu
Tento príklad spomínam kvôli tomu, že sa ňom dá ukázať vcelku užitočná vec. Pohľad, akým sa budeme na veci teraz pozerať, sa vám môže spočiatku zdať príliš abstraktný a neobvyklý. Časom, keď si navyknete na pojem izomorfizmu (ktorý stretnete aj pri iných štruktúrach, nielen pri grupách), tak by sa snáď mal takýto pohľad stať pre vás vcelku prirodzeným.
Skúsme sa trošičku zamyslieť nad tým, čo vlastne znamená existencia izomorfizmu medzi $(G,*)$ a $(H,\circ)$.
V prvom rade máme bijekciu medzi $G$ a $H$, t.j. prvky týchto dvoch množín máme jedno-jednoznačne popárované.
Navyše toto priradenie medzi prvkami $G$ a $H$ zachováva operácie. To je vyjadrené podmienkou
$$f(a*b)=f(a)\circ f(b).$$
Môžeme sa na to pozrieť takto: Chápme zobrazenie $f$ ako slovník, ktorý len prvok $g\in G$ "premenuje" na nejaký prvok $f(g)\in H$.
Potom sa pri tomto premenovaní zmení operácia $*$ na $\circ$, lebo výsledok operácie $\circ$ na "premenovaných" prvkoch $f(a)$, $f(b)$ je to isté, ako "premenovaný" prvok $a*b$.
Skúsme konkrétny jednoduchý príklad. Pozrime sa na tieto dve tabuľky.
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|ccc}
+ & 0 & 1 & 2 \\\hline
0 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{array}
&
\begin{array}{c|ccc}
\circ & a & b & c \\\hline
a & a & b & c \\
b & b & c & a \\
c & c & a & b
\end{array}
\end{array}
$$
Prvá tabuľka predstavuje sčitovanie modulo 3 na množine $\mathbb Z_3=\{0,1,2\}$. O $(\mathbb Z_3,+)$ z prednášky viete, že je grupa.
Je aj druhá tabuľka tabuľka grupovej operácie na množina $\{a,b,c\}$?
Jedna možnosť ako to zistiť by bolo overiť podmienky z definície grupy. Napríklad pri asociatívnosti by sme vyskúšali všetkých $3^3$ možností na výber troch prvkov a porovnali výsledky. Je to pomerne prácny postup, ale zistili by sme, že ide o asociatívnu operáciu. Ostatné vlastnosti grupy sa z tabuľky dajú overiť vcelku ľahko. (Vidíme, že $a$ je neutrálny prvok, lebo v riadku a stĺpci $a$ sú tie isté písmená ako v záhlaví. Potom $a^{-1}=a$. A keď si v tabuľke prečítame, že $b\circ c=c\circ b=a$, tak vidíme, že $b^{-1}=c$ a $c^{-1}=b$, teda pre každý prvok existuje inverzný. Tabuľka je symetrická podľa diagonály, teda ide dokonca o komutatívnu grupu.)
Jednoduchší argument je však takýto: Všimneme si že pravá tabuľka je presne tá istá, akurát všade je $0$ nahradená $a$, $1$ nahradená $b$, $2$ nahradená $c$. Je jasné, že vlastnosti ako asociatívnosť, komutatívnosť a pod. nezávisia od toho, ako sú prvky označené, ale iba od toho, ako funguje daná binárna operácia. Čiže ak ľavá tabuľka je tabuľka komutatívnej grupy, tak aj pravá tabuľka je tabuľka komutatívnej grupy.
Zistili sme, že $(\{1,2,3\},\circ)$ je komutatívna grupa je to "v podstate tá istá" grupa ako $(\mathbb Z_3,+)$. V podstate tá istá znamená "rovnaká tabuľka s inak označenými prvkami". Múdrejšie povedané: Sú to izomorfné grupy, izomorfizmus je zobrazenie $0\mapsto a$, $1\mapsto b$, $2\mapsto c$.
Podobný argument by sme mohli využiť aj v úlohe s operáciou $\ast$ na $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. Ak sme si všimli, že existuje bijekcia $f\colon \mathbb R\setminus\{-1\} \to \mathbb R\setminus\{0\}$, ktorá zachováva operácie (t.j. $f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)$) a ak vieme, že $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$ je grupa, tak aj $(\mathbb R\setminus\{-1\},\ast)$ musí byť grupa.
Trochu formálnejší pohľad:
Keby sme to chceli povedať trochu formálnejšie mohli by sme zadefinovať homomorfizmus nielen medzi grupami, ale aj medzi množinami s binárnymi operáciami. (Kto má rád cudzie slová, alebo sa chce vyjadrovať stručnejšie, tak sa zvyknú používať aj termíny magma alebo grupoid.)
Ak $\ast$ je binárna operácia na $G$ a $\circ$ je binárna operácia na $H$, tak zobrazenie $f$ z $G$ do $H$ nazveme homomorfizmom medzi $(G,\ast)$ a $(H,\circ)$, ak
$$f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b).$$
Bijektívny homomorfizmus nazveme izomorfizmom.
Teraz už vieme formálnejšie povedať to, o čom sme hovorili v predošlom odstavci.
Predpokladajme, že existuje izomorfizmus medzi $(G,\ast)$ a $(H,\circ)$.
Podarilo sa nám dokázať, že to je grupa. Potom som vám povedal, že sa môžete skúsiť zamyslieť nad tým, či neviete nájsť nejaký izomorfizmus medzi touto grupou a grupou $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$.Je $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $\ast$, $a\ast b=ab+a+b$ grupa?
Ľahko sa dá skontrolovať, že
$f\colon \mathbb R\setminus\{-1\} \to \mathbb R\setminus\{0\}$
$f(a)=a+1$
je izomorfizmus.
Každý vidí, že to je bijekcia. Chceme overiť, či to je aj homomorfizmus. Teda chceme overiť, či $f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)$. Pokúsme sa upraviť výraz na ľavej a na pravej strane:
$f(a\ast b)=a\ast b+1 = ab+a+b+1=(a+1)(b+1)$
$f(a)\cdot f(b) = (a+1)(b+1)$
Dostali sme ten istý výraz, teda je to skutočne homomorfizmus.
Využitie izomorfizmu na dôkaz, že ide o grupu
Tento príklad spomínam kvôli tomu, že sa ňom dá ukázať vcelku užitočná vec. Pohľad, akým sa budeme na veci teraz pozerať, sa vám môže spočiatku zdať príliš abstraktný a neobvyklý. Časom, keď si navyknete na pojem izomorfizmu (ktorý stretnete aj pri iných štruktúrach, nielen pri grupách), tak by sa snáď mal takýto pohľad stať pre vás vcelku prirodzeným.
Skúsme sa trošičku zamyslieť nad tým, čo vlastne znamená existencia izomorfizmu medzi $(G,*)$ a $(H,\circ)$.
V prvom rade máme bijekciu medzi $G$ a $H$, t.j. prvky týchto dvoch množín máme jedno-jednoznačne popárované.
Navyše toto priradenie medzi prvkami $G$ a $H$ zachováva operácie. To je vyjadrené podmienkou
$$f(a*b)=f(a)\circ f(b).$$
Môžeme sa na to pozrieť takto: Chápme zobrazenie $f$ ako slovník, ktorý len prvok $g\in G$ "premenuje" na nejaký prvok $f(g)\in H$.
Potom sa pri tomto premenovaní zmení operácia $*$ na $\circ$, lebo výsledok operácie $\circ$ na "premenovaných" prvkoch $f(a)$, $f(b)$ je to isté, ako "premenovaný" prvok $a*b$.
Skúsme konkrétny jednoduchý príklad. Pozrime sa na tieto dve tabuľky.
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|ccc}
+ & 0 & 1 & 2 \\\hline
0 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{array}
&
\begin{array}{c|ccc}
\circ & a & b & c \\\hline
a & a & b & c \\
b & b & c & a \\
c & c & a & b
\end{array}
\end{array}
$$
Prvá tabuľka predstavuje sčitovanie modulo 3 na množine $\mathbb Z_3=\{0,1,2\}$. O $(\mathbb Z_3,+)$ z prednášky viete, že je grupa.
Je aj druhá tabuľka tabuľka grupovej operácie na množina $\{a,b,c\}$?
Jedna možnosť ako to zistiť by bolo overiť podmienky z definície grupy. Napríklad pri asociatívnosti by sme vyskúšali všetkých $3^3$ možností na výber troch prvkov a porovnali výsledky. Je to pomerne prácny postup, ale zistili by sme, že ide o asociatívnu operáciu. Ostatné vlastnosti grupy sa z tabuľky dajú overiť vcelku ľahko. (Vidíme, že $a$ je neutrálny prvok, lebo v riadku a stĺpci $a$ sú tie isté písmená ako v záhlaví. Potom $a^{-1}=a$. A keď si v tabuľke prečítame, že $b\circ c=c\circ b=a$, tak vidíme, že $b^{-1}=c$ a $c^{-1}=b$, teda pre každý prvok existuje inverzný. Tabuľka je symetrická podľa diagonály, teda ide dokonca o komutatívnu grupu.)
Jednoduchší argument je však takýto: Všimneme si že pravá tabuľka je presne tá istá, akurát všade je $0$ nahradená $a$, $1$ nahradená $b$, $2$ nahradená $c$. Je jasné, že vlastnosti ako asociatívnosť, komutatívnosť a pod. nezávisia od toho, ako sú prvky označené, ale iba od toho, ako funguje daná binárna operácia. Čiže ak ľavá tabuľka je tabuľka komutatívnej grupy, tak aj pravá tabuľka je tabuľka komutatívnej grupy.
Zistili sme, že $(\{1,2,3\},\circ)$ je komutatívna grupa je to "v podstate tá istá" grupa ako $(\mathbb Z_3,+)$. V podstate tá istá znamená "rovnaká tabuľka s inak označenými prvkami". Múdrejšie povedané: Sú to izomorfné grupy, izomorfizmus je zobrazenie $0\mapsto a$, $1\mapsto b$, $2\mapsto c$.
Podobný argument by sme mohli využiť aj v úlohe s operáciou $\ast$ na $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. Ak sme si všimli, že existuje bijekcia $f\colon \mathbb R\setminus\{-1\} \to \mathbb R\setminus\{0\}$, ktorá zachováva operácie (t.j. $f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)$) a ak vieme, že $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$ je grupa, tak aj $(\mathbb R\setminus\{-1\},\ast)$ musí byť grupa.
Trochu formálnejší pohľad:
Keby sme to chceli povedať trochu formálnejšie mohli by sme zadefinovať homomorfizmus nielen medzi grupami, ale aj medzi množinami s binárnymi operáciami. (Kto má rád cudzie slová, alebo sa chce vyjadrovať stručnejšie, tak sa zvyknú používať aj termíny magma alebo grupoid.)
Ak $\ast$ je binárna operácia na $G$ a $\circ$ je binárna operácia na $H$, tak zobrazenie $f$ z $G$ do $H$ nazveme homomorfizmom medzi $(G,\ast)$ a $(H,\circ)$, ak
$$f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b).$$
Bijektívny homomorfizmus nazveme izomorfizmom.
Teraz už vieme formálnejšie povedať to, o čom sme hovorili v predošlom odstavci.
Predpokladajme, že existuje izomorfizmus medzi $(G,\ast)$ a $(H,\circ)$.
- Ak $\ast$ je asociatívna operácia, tak aj $\circ$ je asociatívna operácia.
- Ak $\ast$ je komutatívna operácia, tak aj $\circ$ je komutatívna operácia.
- Ak $\ast$ má neutrálny prvok, tak aj $\circ$ má neutrálny prvok.
- Ak $(G,\ast)$ je grupa, $(H,\circ)$ je grupa.