Operácia $(a,b)\ast(c,d)=(a+bc,bd)$.

[Martin Sleziak]

Zadanie písomky bolo:

Nech $G=\mathbb R\times(\mathbb R\setminus\{0\})$. Definujme na tejto množine binárnu operáciu $\ast$ predpisom $(a,b)\ast(c,d)=(a+bc,bd)$. Je to skutočne binárna operácia? Je $(G,\ast)$ grupa? Je to komutatívna grupa?

Malo vyjsť, že je to binárna operácia a že je asociatívna. (K tomu ste mali uviesť nejaké zdôvodnenie.)
Nie je komutatívna. (Tu stačilo uviesť jeden konkrétny príklad.)
Neutrálny prvok je dvojica $(0,1)$. Inverzný prvok k prvku $(a,b)$ je dvojica $(-\frac ab, \frac1b)$.
Teda je to grupa, ale nie je komutatívna.

EDIT: Detailné overenie pribudlo tu: viewtopic.php?t=963

Ešte spomeniem dva iné pohľady na túto grupu.

Zobrazenia tvaru $f_{a,b}(x)=ax+b$
V ako príklad 1.3.2(1) v knihe LAG1 máte množinu $T=\{f_{a,b}; a\ne 0, a,b\in\mathbb{R}\}$, kde $f_{a,b}\colon\mathbb R\to\mathbb R$ je zobrazenie definované predpisom
$$f_{a,b}(x)=ax+b.$$
Je tam ukázané, že $(T,\circ)$ je grupa. (Znak $\circ$ označuje skladanie zobrazení.)
Pritom vyšlo, že
$$f_{c,d}\circ f_{a,b}=f_{ac,bc+d}.$$

Je grupa $(T,\circ)$ izomorfná s grupou z tohoto príkladu?

Grupa matíc

K tomuto sa môžete vrátiť neskôr, keď sa budete učiť o maticiach.

Pozrime sa na množinu matíc $\{\begin{pmatrix} 1&0\\a&b \end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R, b\ne0\}$. Na tejto množine zoberme operáciu násobenia matíc.
$$\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\a+bc&bd\end{pmatrix}$$
Vidíme, že $(a,b)\mapsto\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}$ je izomorfizmus.
Dali by sa niektoré časti toho, či to je grupa, overiť ľahšie s nejakými vedomosťami o maticiach?

Pri násobení matíc je prirodzeným kandidátom na neutrálny prvok jednotková matica. Teda hľadáme $a$, $b$ také, že $\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. Čiže máme naozaj $a=0$, $b=1$.

Ďalej sa pýtame na to, či pre maticu $A=\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}$ existuje inverzná matica. Určite existuje, lebo jej determinant je nenulový: $|A|=b\ne0$.
Dôležité je aj to, či inverzná matica opäť patrí do našej množiny. Inverznú maticu vieme vyjadriť pomocou determinantu:
$$A^{-1}=\frac1{|A|}\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{pmatrix}=\frac1b\begin{pmatrix}b&0\\-a&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-\frac{a}{b}&\frac1b\end{pmatrix}$$

[Martin Sleziak]

Skúsim sem napísať niečo k chybám a problémom, ktoré sa vyskytovali v odovzdaných riešeniach. (Niektoré častejšie, niektoré menej často.)

Bodovanie
Bolo vlastne treba overiť, či ide o binárnu operáciu, či platí asociatívnosť, komutatívnosť, či existuje neutrálny prvok a či každý prvok má inverzný. To vcelku prirodzene rozdeľuje úlohu na päť jednobodových častí.

Čo znamená binárna operácia?
Čo sa vlastne myslí pod overením, či je $\ast$ binárna operácia? To vlastne znamená overiť, či pre hocijaké $x, y\in G$ aj $x\ast y\in G$.
V tomto konkrétnom prípade máme dve dvojice $(a,b),(c,d)\in \mathbb R\times(\mathbb R\setminus\{0\}$ a pýtame sa, či aj $(a+bc,bd)$ patrí do tej istej množiny. Je jasné, že ak $a,b,c,d\in\mathbb R$, tak aj $a+bc$, $bd$ sú reálne čísla. (Iba sčitujeme a násobíme reálne čísla.) Takže jediné, čo si treba uvedomiť, že či z $b,d\in\mathbb R\setminus\{0\}$ vyplýva, že aj $bc$ bude nenulové. Vieme, že v pre násobenie reálnych čísel platí, že súčin nenulových čísel je nenulové číslo. (Zhruba niečo také ako táto posledná veta som očakával ako vaše zdôvodnenie v písomke.)

Napríklad tvrdiť, že

Je to binárna operácia, lebo platí asociatívnosť, má neutrálny a inverzný prvok.

určite nie je správne. (Pravdepodobne ste si to poplietli s definíciou grupy.) Existujú binárne operácie, ktoré sú asociatívne, aj také, ktoré nie sú. Niektoré binárne operácie majú neutrálny prvok, iné nemajú.

Vlastnosti operácií, nie vlastnosti prvkov
Asociatívnosť a komutatívnosť sú vlastnosti binárnych operácií. Nemá teda zmysel napísať niečo ako napríklad: Táto operácia je komutatívna pre prvky $(0,-1)$ a $(1,-2)$, ale nie je komutatívna pre prvky $(1,1)$ a $(2,2)$. Aj keď samozrejme rozumiem, čo tým chcete povedať. (Správny termín je, že nejaké prvky komutujú resp. nekomutujú.)

Každopádne ak v zadaní je otázka, či je nejaká binárna operácia komutatívna, tak odpoveď by mala byť buď že je komutatívna (v takom prípade by mala odpoveď obsahovať aj dôkaz) alebo že nie je komutatívna (v takom prípade by mala odpoveď obsahovať konkrétny príklad prvkov, ktoré nekomutujú). Podobne pre asociatívnosť.

Konkrétny príklad
Ak ste tvrdili, že operácia nie je komutatívna, tak by som tam očakával aj konkrétny príklad ukazujúci, že naozaj nie je komutatívna.
Napríklad keby ste tvrdili, že v jednom poradí vychádza $bd$ v druhom poradí $db$, takže operácia násobenia zjavne nie je komutatívna, tak to asi nie je správne zdôvodnenie. (Máte tam dva rôzne výrazy, ktoré sa však rovnajú pre akékoľvek reálne čísla $b$, $d$.) Takisto možno nie každému je na prvý pohľad jasné, či $a+bc$ a $c+da$ dávajú rôzne hodnoty (aspoň pre nejaké prvky z $G$).

Overenie pre neutrálny a inverzný prvok
Ak ste nejako našli neutrálny (inverzný) prvok, tak treba vyskúšať, či naozaj vyhovuje definícii neutrálneho prvku. Keďže nejde o komutatívnu operáciu, znamená to overiť, ako to s ním vyzerá pri násobení v oboch poradiach.
Napríklad ak ste hľadali, čo musí spĺňať $(a,b)$ aby to bol neutrálny prvok a dostali ste
$(a,b)\ast(c,d)=(c,d)$
$(a+bc,bd)=(c,d)$
$bd=d$ $\land$ $a+bc=c$
$b=1$ $\land$ $a=0$
Tak ste zatiaľ iba zistili, že jediný kandidát na neutrálny prvok je $(a,b)=(1,0)$. (Ešte poznamenám, že v poslednom kroku sa azda patrí napísať, že sme tam využili $d\ne0$.)
Bolo by treba overiť, či naozaj po dosadení platí rovnosť s ktorou sme začali. Povedzme, že som ochotný uveriť, že to vidno. (Že ste schopní skontrolovať, či vo všetkých krokoch platí aj implikácia zdola nahor. Alebo že si to viete vyskúšať znovu dosadiť do rovnosti v druhom riadku a skontrolovať v hlave.)
Stále sme však neskontrolovali podmienku $(c,d)\ast(1,0)=(c,d)$, ktorú musí neutrálny prvok spĺňať tiež.
Pri neutrálnom prvku sú tieto rovnosti vcelku jednoduché, takže som tam body nestŕhal. (Ak ste to nenapísali, tak som si povedal, že ste to skontrolovali v hlave a dal vám body.)
Inverzný prvok však vyjde trochu zložitejší, tam už menej verím tomu, že to na prvý pohľad vidíte bez toho, aby ste to napísali na papier. (A ak to aj vidíte, mali by ste to napísať na papier aspoň pre človeka, čo opravuje písomku - aby videl, že ste nezabudli skontrolovať definíciu inverzného prvku a nezabudli na to, že sú tam obe poradia.)

[Martin Sleziak]

Táto úloha sa opäť vyskytla na písomke, tak ešte nejakých pár poznámok k nejakým problémom v riešeniach.

Veľmi veľa ľudí overovalo podmienku pre inverzný prvok iba v jednom poradí. (Hoci zadaná operácia nie je komutatívna.) Nestŕhal som za to body, ale v skutočnosti to je chyba.

Ak počítate s prvkami z $G$, tak by to mali byť usporiadané dvojice.
Nemá teda zmysel napríklad tvrdiť, že $1$ je neutrálny prvok - pretože $1\notin G$.
Podobne ak overujete niektoré vlastnosti operácie (asociatívnosť, komutatívnosť), výsledok by mal byť z $G$.

Pri overovaní komutatívnosti (asociatívnosti) zoberieme dva (resp. tri) prvky z $G$ a máme skontrolovať, či pre ne platí nejaká rovnosť. Teda napríklad takýto zápis
$$(a,b)*c=a*(b,c)$$
nie je asociatívnosť. (Odhliadnuc od toho, že nie je jasné, čo sa týmto zápisom myslí.)