msleziak.com

Príklad z dnešnej písomky:

Je relácia $R=\{(x,y)\in \mathbb R^2; |x-y|\le1\}$ na množine $M=\mathbb R$ reflexívna, symetrická, tranzitívna?

Relácia je reflexivna: $|x-x|=0 \le 1$, čo znamená, že $(x,x)\in R$.

Relácie $R$ je symetrická: Platí $|x-y|=|y-x|$. Teda ak $|x-y|\le1$, tak aj $|y-x|\le1$.

Relácia $R$ nie je tranzitívna: Napríklad $(0,1)\in R$, $(1,2)\in R$, ale $(0,2)\notin R$.

Pri riešení úlohy určite pomôže uvedomiť si, čo znamená podmienka $|x-y|\le1$ geometricky: Toto mi hovorí, že $x$ a $y$ sú nejaké body na reálnej osi, ktorých vzdialenosť je najviac $1$. (T.j. napríklad pri tranzitívnosti sa pýtam niečo takéto. Ak vzdialenosť medzi $x$ a $y$ je nanajvýš $1$, a súčasne vzdialenosť medzi $y$ a $z$ je nanajvýš $1$, je to pravda aj pre vzdialenosť medzi $x$ a $z$?)

Je relácia $R=\{(x,y)\in\mathbb R^2; xy\ge0\}$ na množine $M=\mathbb R$ reflexívna, symetrická, tranzitívna?

Relácia je reflexívna, pretože pre ľubovoľné $x\in\mathbb R$ máme $x^2\ge0$, t.j. $(x,x)\in R$.

Relácie je symetrická, máme $(x,y)\in R$ $\Leftrightarrow$ $xy\ge 0$ $\Leftrightarrow$ $yx\ge 0$ $\Leftrightarrow$ $(y,x)\in R$.
(Vlastne sme využili iba to, že $xy=yx$.)

Relácia nie je tranzitívna, máme napríklad $(1,0)\in R$, $(0,-1)\in R$, ale $(1,-1)\notin R$.