msleziak.com

Objavila sa aj jedna nepodpísaná d.ú.4, tak potom na cviku sa k nej skúste niekto prihlásiť.

Nejaké komentáre k du4.

Konkrétny kontrapríklad

Ak tvrdíte, že nejaké tvrdenie neplatí, tak je dobré uviesť aj konkrétny kontrapríklad. (Aby to nevyzeralo ako niečo typu: "Nepodarilo sa mi to dokázať, takže to neplatí.")

Iná možnosť dôkazu
Väčšina z vás viac-menej zvládla štandardný prístup; prepísať si tvrdenie, dostať výrok, o ňom overíte, že je tautológia.

Skúsme sa pozrieť na trochu inú možnosť riešenia.
Povedzme, že by sme najprv dokázali ako pomocné tvrdenie, že pre ľubovoľné množiny $X$, $Y$, $Z$ platí:

• Ak $Y\subseteq Z$, tak aj $X\times Y\subseteq X\times Z$
• Ak $Y\subseteq Z$, tak aj $Y\times X\subseteq Z\times X$

Dôkazy týchto tvrdení nechám na vás - sú zhruba rovnako náročné ako tie, čo boli v d.ú.; resp. by mali byť ešte o kúsok ľahšie, lebo robíme iba s tromi množinami.

Potom z $A\subseteq A\cup C$ dostaneme $A\times B \subseteq (A\cup C) \times B$.
Podobne z $B\subseteq B\cup D$ dostaneme $(A\cup C) \times B\subseteq (A\cup C)\times (B\cup D)$.
Celkovo dostávame $A\times B \subseteq (A\cup C)\times (B\cup D)$.

Takmer rovnakým spôsobom by sme dostali $C\times D \subseteq (A\cup C)\times (B\cup D)$.

Z týchto dvoch inklúzii spolu dostaneme $(A\times B) \cup (C\times D) \subseteq (A\cup C)\times (B\cup D)$.
(Tu sme využili, že z $X\subseteq Z$ a $Y\subseteq Z$ vyplýva $X\cup Y\subseteq Z$. Keby sme boli veľmi poriadny, tak aj toto tvrdenie by sme mali dokázať.)

Staršie komentáre

Poznámky k tejto d.ú. z minulých rokov:
viewtopic.php?t=344
viewtopic.php?t=98