msleziak.com

Ešte sa na chvíľu zastavme pri definícii poľa.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
V knihe je uvedená takto:

Nech $(R,+,\cdot,1)$ je okruh s jednotkou. Ak $\cdot$ definuje binárnu operáciu na $R^*=R\setminus\{0\}$ (teda, ak obraz zobrazenia $\cdot|_{R^*\times R^*}$ je obsiahnutý v $R^*$; ako vieme z časti venovanej grupám, v tejto situácii sa tiež vraví, že podmnožina $R^*$ je uzavretá vzhľadom na operáciu $\cdot$) a $R^*$ s touto binárnou operáciou je grupa, potom $(R,+,\cdot,1)$ sa nazýva teleso.
Teleso, ktorého násobenie je komutatívne, sa nazýva pole.

Vidíme teda, že súčasťou definície poľa je aj to, že $\cdot$ je binárna operácia na množine $R^*$.
Pri dôkaze, že pre každé prvočíslo $m$ tvorí $\mathbb Z/m\mathbb Z$ pole, sme sa tejto podmienke venovali dosť podrobne.
Pri overovaní, že $\mathbb R\times\mathbb R$ tvorí so sčitovaním po zložkách a násobením definovaným ako $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ v jednej z prednáškových úloh sme túto časť už preskočili. (V súvislosti s touto úlohou sme spomínali, že to je vlastne jedna z možností ako zadefinovať komplexné čísla.)

Chcem sa zastaviť pri tom, že uzavretosť $R^*$ na operáciu $\cdot$ vlastne dostaneme, ak overíme niektoré ostatné podmienky z definície poľa.
Uvedomme si, že vlastne dokazujeme podmienku $a\ne0 \land b\ne 0 \Rightarrow ab\ne 0$.
Túto podmienku môžeme ekvivalentne preformulovať ako $ab=0 \Rightarrow a=0 \lor b=0$.
Predstavme si, že sme v takej situácii, že už sme overili všetky vlastnosti okruhu a tiež to, že v $R$ existuje jednotka a pre každý nenulový prvok existuje inverzný prvok vzhľadom na násobenie.
Za týchto podmienok z $ab=0$ už vieme odvodiť, že $a=0$ alebo $b=0$.
Ak $a=0$, tak uvedená podmienka platí. Čo sa stane v prípade, že $ab=0$ a $a\ne0$? Potom existuje inverzný prvok $\inv a$. Pomocou neho dostaneme:
$b=1b=(\inv a a)b= \inv a (ab)=\inv a 0 = 0$.
(Využili sme definíciu inverzného a neutrálneho prvku pre operáciu $\cdot$, asociatívnosť operácie $\cdot$ a tiež to, že v každom okruhu platí $a\cdot0=0$.)

Vidíme teda, že túto podmienku už vieme odvodiť z ostatných podmienok v definícii poľa.

Niekedy sa definícia poľa skutočne aj uvádza v takej podobe, že sa nehovorí o grupe $R^*$, ale vymenujú sa vlastnosti operácií:

• sčitovanie a násobenie sú binárne operácie;
• sčitovanie a násobenie sú komutatívne;
• sčitovanie a násobenie sú asociatívne;
• obe operácie majú neutrálne prvky (označujeme ich 0 a 1);
• pre každý prvok $a$ existuje inverzný prvok vzhľadom na operáciu $+$ (označujeme ho $-a$);
• pre každý nenulový prvok $a\ne0$ existuje inverzný prvok vzhľadom na operáciu $\cdot$ (označujeme ho $\inv a$);
• platí distributívnosť.

Takáto definícia je ekvivalentná s definíciou z prednášky.

Ešte som azda mohol spomenúť, ako je to s touto vlastnosťou v prípade, že máme zadanú podmnožinu $R\subseteq\mathbb C$ a pracujeme s obvyklým sčitovaním a násobením - úlohy takého typu ako som spomínal tu: viewtopic.php?f=29&t=505.
(Resp. všeobecnejšie - ak by sme pracovali mali nejaké pole a pracovali s nejakou jeho podmnožinou so zúženými operáciami.)

V tomto prípade síce potrebujeme overiť, či $R$ je uzavreté na $\cdot$. S množinou $R^*=R\setminus\{0\}$ už ale nemáme problém.
Ak totiž vieme, že podmienka $ab=0 \Rightarrow a=0 \lor b=0$ platí pre ľubovoľné $a,b\in\mathbb C$, tým skôr platí pre ľubovoľné $a$, $b$ z menšej množiny $R$.