msleziak.com

Zadanie prvej úlohy na písomke bolo vo všetkých skupinách rovnaké, líšila sa len zadaná množina a binárna operácia. (Vo všetkých prípadoch odpoveď mala byť, že to je grupa.)$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\sm}{\setminus}$

Skupina A: Zistite, či $\R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.

Skupina B: Zistite, či $(\R^+\times\R, \square)$, kde pre každé $(a,b),(c,d)\in\R^+\times\R$ definujeme $(a,b)\square(c,d)=(4ac,b+d)$, je grupa. (Symbol $\R^+$ označuje množinu kladných reálnych čísel, t.j. $\R^+=\{x\in\R; x>0\}$.)

Skupina C: Zistite, či $\R\sm\{-1\}$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=ab+a+b$ tvorí grupu.

Tieto úlohy, resp. veľmi podobné, sme riešili na cviku - nebudem tu vypisovať kompletné riešenia. (Ak treba, kľudne sa spýtajte, a môžem niektorú časť alebo celé riešenie doplniť.) Napíšem sem ale nejaké komentáre k chybám, ktoré sa vyskytovali v písomke v mojej skupine.

Príkladu zo skupiny B sa týka aj tento topic: viewtopic.php?t=495 (A rovnako pre skupinu A platí, že grupa $(\R,\ast)$ je v skutočnosti izomorfná s $(\R,+)$.) Príklad zo skupiny C je do značnej miery podobný na príklad z písomky na výberovom cviku: viewtopic.php?t=498

Binárna operácia

Súčasťou overenia, či niečo je grupa, je aj to, či je to binárna operácia. S výnimkou skupiny C je to jasné viac-menej okamžite. (Ale čakal som od vás aj v ostatných skupinách, že to aspoň spomeniete - aby som videl, že ste nezabudli na to, že aj toto je v definícii grupy.)$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\sm}{\setminus}$

V skupine C sa vlastne pýtame, či $a\ne -1 \land b\ne -1 \Rightarrow ab+a+b\ne 1$, čo je ekvivalentné s otázkou $ab+a+b=-1 \Rightarrow a=-1 \lor b=-1$.
Keď si všimneme, že $ab+b+b+1=(a+1)(b+1)$, tak to môžeme prepísať ako
$(a+1)(b+1)=0 \Rightarrow a+1=0 \lor b+1=0$,
čo už je jasné z vlastností reálnych čísel.

V skupine C ste ako inverzný prvok našli $\frac{-a}{a+1}$. Bolo by treba overiť, či tento prvok patrí do danej množiny.

To, že $b=\frac{-a}{a+1}$ je skutočne inverzný prvok k $a$ sa ľahko skontroluje dosadením:
$a\ast b=ab+a+b=\frac{-a^2}{a+1}+a+\frac{-a}{a+1} = \frac{-a^2+a(a+1)-a}{a+1} = \frac{-a^2+a^2+a-a}{a+1}=0$
Tiež si všimnime, že pre $a\ne-1$ platí $a+1\ne0$, teda v menovateli nie je nula. Uvedený výraz má teda zmysel pre každé $a\in\R\sm\{-1\}$ a dostaneme takto nejaké reálne číslo.
Potrebujeme ale ešte skontrolovať, či toto číslo patrí do $\R\sm\{-1\}$.
Teda či pre $a\ne-1$ máme $-a/(a+1)\ne -1$.
To vidno napríklad z $\frac{-a}{a+1}\ne{-a-1}{a+1}=1$.
Alebo inak: Z $\frac{-a}{a+1}=-1$ dostaneme $-a=-(a+1)$ a $0=-1$. Teda táto rovnosť nemôže nastať pre žiadne $a\in\R\sm\{-1\}$.

Viacerí z vás otázku, či $\frac{-a}{a+1}\in\R\sm\{-1\}$ v písomke vôbec neriešili. Nestŕhal som za to body, ale chcel by som, aby ste si uvedomili, že bez toho je riešenie neúplné. (Chceme ukázať, že existuje inverzný prvok, ktorý patrí do $G$). Keby som chcel byť prísny a strhnúť nejaké body za toto, tak by som v princípe z rovnakých dôvodov mal strhnúť body v skupine B, ak niekto nenapísal, že aj $(1/4a,-b)\in\R^+\times\R$ a v skupine A ak chýbalo to, že $2-a\in\R$. V oboch prípadoch je to vcelku očividné. V skupine C to až také úplne očividné nie je, ale nie je to ani príliš ťažké.

Delenie nulou
Už zo strednej by ste mali byť naučení, že si treba dávať pozor na delenie nulou.

Napríklad v úlohe o operácii $a\ast b=ab+a+b$ na množine $\R\sm\{-1\}$ sa vyskytol takýto argument:
Ak hľadáme neutrálny prvok, tak musí spĺňať:
$a\ast e=a$
$ae+a+e=a$
$ae+a=0$
$ae=a$ (vydelíme obe strany $e$)
$a=-1$
Na základe toho ste potom napísali, že neutrálny prvok neexistuje.
Problém s týmto argumentom je, že prejde iba pre $e\ne0$. Ako ľahko skontrolujete $a=0$ je skutočne neutrálnym prvkom tejto operácie.