Zobrazenie $f$ je homomorfizmus práve vtedy, keď pre ľubovoľné $g,h\in G$ platia nasledujúce (ekvivalentné) rovnosti:Nech $(G,\ast)$ je grupa. Ukážte, že zobrazenie $\Zobr fGG$ definované ako $f(g)=g\ast g$ je homomorfizmus práve vtedy, keď $G$ je komutatívna grupa.
$f(g\ast h)=f(g)\ast f(h)$
$(g\ast h)\ast(g\ast h)=(g\ast g)\ast (h\ast h)$
Táto rovnosť očividne platí ak grupa $G$ je komutatívna.
Obrátene, ak platí táto rovnosť, tak ju môžeme na základe asociatívnosti prepísať ako
$g\ast (h\ast g) \ast h= g \ast (g\ast h) \ast h$.
Ak uvedenú rovnosť vynásobíme $\inv g$ zľava a $\inv h$ sprava, tak dostaneme, že (pre ľubovoľné $g,h\in G$) platí
$h\ast g=g\ast h$.
Teda grupa $G$ je komutatívna.
Skupina B
Môžeme postupovať priamo z definície, t.j. overiť, že zobrazenie je injektívne a surjektívne.Nech $(G,\ast)$ je grupa a $g\in G$. Ukážte, že zobrazenie $\Zobr{f_g}GG$ definované predpisom $f_g(a)=g\ast a$ je bijekcia.
Injekcia. Ak $f_g(a)=f_g(b)$, tak máme $g\ast a=g\ast b$. Ak obe strany vynásobíme zľava $\inv g$, tak dostaneme $a=b$.
Ukázali sme, že z $f_g(a)=f_g(b)$ vyplýva $a=b$, teda zobrazenie $f_g$ je injektívne.
(Vlastne sme zopakovali dôkaz zákona o krátení v grupe.)
Surjekcia. Nech $b\in G$. Chceme overiť, či existuje $a\in G$ také, že $f_g(a)=b$, t.j. $g\ast a=b$.
Z predošlej rovnosti dostávame $a=\inv g\ast b$.
Môžeme skontrolovať, že $f_a(\inv g\ast b)= g\ast \inv g\ast b=b$.
Každý prvok z $G$ má vzor v zobrazení $f_g$. Teda $f_g$ je naozaj surjektívne.
Iný spôsob. Vieme, že zobrazenie $f$ je bijektívne práve vtedy, keď existuje zobrazenie $g$ také, že $g\circ f=id$ aj $f\circ g=id$ (Dôsledok 1.1.16 v LAG1). Stručne povedané, bijektívnosť je ekvivalentná s existenciou inverzného zobrazenia.
Takýto prístup sa hodí najmä vtedy, ak vieme uhádnuť, čo by mohlo byť inverzné zobrazenie. V tomto prípade sa rozumný typ na inverzné zobrazenie zdá byť $f_{\inv g}$. (Skúste si to predstaviť na konkrétnom príklade. Napríklad pre $(\mathbb R,+)$ zobrazenie $f_g$ predstavuje posunutie o $g$ doprava. Zobrazenie $f_{-g}$ je posunutie o $g$ doľava. Očividne tieto dve zobrazenia sú navzájom inverzné.)
Ak sa nám teda podarí overiť, že $f_{\inv g}\circ f_g=f_g\circ f_{\inv g}=id_G$, tak sme zistili, že $f_{\inv g}$ je inverzné zobrazenie k $f_g$. Špeciálne to znamená, že $f_g$ aj $f_{\inv g}$ sú bijekcie.
Skúsme to teda naozaj skontrolovať. Dostávame:
$f_{\inv g}(f_g(a))=\inv g\ast (g\ast a)=(\inv g\ast g)\ast a=a$
$f_g(f_{\inv g}(a))=g\ast (\inv g\ast a)=(g\ast \inv g)\ast a=a$
Skupina C
V tomto pro prípade treba overiť dve veci: Že $f_g$ je homomorfizmus a že je to bijekcia.Nech $(G,\ast)$ je grupa a $g\in G$. Ukážte, že zobrazenie $\Zobr{f_g}GG$ definované predpisom $f_g(a)=g\ast a\ast\inv g$ je izomorfizmus.
Je to aj homomorfizmus:
$f_g(a)\ast f_g(b) = (g\ast a\ast\inv g)\ast (g\ast b\ast\inv g) =
g\ast a\ast(\inv g\ast g)\ast b\ast\inv g =
g\ast a\ast b\ast\inv g = f_g(a\ast b)$.
Nechám na vás, aby ste si rozmysleli, že to je bijekcia. (Dá sa to robiť podobne ako v skupine B. Opäť zafungujú oba spomenuté spôsoby.)
Ak už máme overené, že je to homomorfizmus, tak máme ešte jednu ďalšiu možnosť ako overiť injektívnosť: Stačí overiť, že $\operatorname{Ker} f_g = \{e\}$, t.j. že $g\ast a \ast \inv g \Rightarrow a=e$. (Ako $e$ som označil neutrálny prvok grupy $G$.)
Podľa vety z prednášky každý homomorfizmus s jednoprvkovým jadrom je injektívny.