Dôkaz $(a^m)^n=a^{mn}$ matematickou indukciou
Posted: Thu Nov 06, 2014 9:16 am
Jedna z úloh, ktorú sme nestihli na cviku (a nechal som ju pre jedného z vás na odovzdanie písomne) bol dôkaz, že $(a^m)^n=a^{mn}$ platí pre ľubovoľné $a\in R$, $m,n\in\mathbb N\cup\{0\}$, kde $R$ je hocijaký komutatívny okruh s jednotkou.
(Bola to úloha 1.7.8(10) - jedna z prednáškových úloh.)
Napíšem sem dôkaz (zhruba rovnaký, ako je ten, čo bol odovzdaný).
Najprv pripomeňme, že $a^n$ je definované induktívne tak, že
$a^0=0 \tag{A}$
$a^{n}=a^{n-1}\cdot a\tag{B}$ pre $n>0$
Ešte pred dôkazom dokážeme ako pomocné tvrdenie tento fakt:
Pozorovanie 1: Pre $a\in R$, $k,l \in \mathbb N\cup\{0\}$ platí
$a^{k+l}=a^k\cdot a^l.\tag{C}$
Dôkaz: Matematickou indukciou vzhľadom na $l$.
$1^\circ$ Báza indukcie: Pre $l=0$ máme
$a^{l+0}=a^l$
$a^l\cdot a^{0} \overset{(A)}=a^l\cdot 1=a^l$.
Teda v tomto prípade tvrdenie platí:
$2^\circ$ Indukčný krok: Máme k dispozícii indukčný predpoklad $a^{k+l}=a^k\cdot a^l$ a snažíme sa dokázať, že tvrdenie platí aj pre $l+1$, t.j. chceme overiť $a^{k+l+1}=a^k\cdot a^{l+1}$
$a^{k+l+1}\overset{(B)}=a^{k+l}\cdot a \overset{IP}= a^k\cdot a^l \cdot a \overset{(A)}= a^k \cdot a^{l+1}.$ $\hspace{2cm}\square$
Teraz už ideme dokázať
$$(a^m)^n=a^{mn}$$
Budeme postupovať indukciou na $n$.
$1^\circ$ Pre $n=0$:
$(a^m)^0 \overset{(A)}=1$
$a^{m0}=a^0 \overset{(A)}=1$
$2^\circ$ Indukčný predpoklad je $(a^m)^n=a^{mn}$, snažíme sa dokázať $(a^m)^{n+1}=a^{m(n+1)}$.
$(a^m)^{n+1} \overset{(B)}= (a^m)^n \cdot a^m \overset{IP}=a^{mn} \cdot a^m \overset{(C)}= a^{mn+n} = a^{m(n+1)}$ $\hspace{2cm}\square$
******
Dôvod, prečo som sa k tomuto príkladu vrátil, je ten, že matematická indukcia je veľmi užitočná dôkazová technika, ktorú je dôležité mať dobre zvládnutú. (Budete ju používať veľmi často.)
V tomto konkrétnom riešení si môžete všimnúť dve veci:
Viac premenných
V oboch častiach, ktoré sme dokazovali, sme mali viacero premenných. Bolo treba vybrať si premennú, vzhľadom na ktorú robím indukciu. (Môžete si rozmyslieť, či by sa dôkaz zmenil, ak by sme ho skúšali robiť indukciou na $m$.)
Ak indukciou dokazujeme tvrdenie o viacerých premenných, niekedy sa dôkaz dá spraviť indukciou bez ohľadu na to, akú premennú vyberiem. Niekedy je výber dôležitý. Niekedy sa hodí zaviesť pomocnú premennú ako napríklad $s=m+n$ alebo $t=\max\{m,n\}$ a dokazovať tvrdenie indukciou vzhľadom na ňu. Takisto sa môže stať, že budeme robiť indukciou dôkaz na dvakrát: Napríklad najprv indukciou na $m$ dokážeme, že tvrdenie platí pre ľubovoľné $m\in\mathbb N$ a pre $n=0$. A potom robíme indukciu na $n$.
Pomocné tvrdenie
Môžete si všimnúť, že sme najprv dokazovali tvrdenie, ktoré v zadaní nebolo.
Na to, že treba dokazovať pomocné tvrdenie by sme prišli, keby sme začali robiť druhú časť, narazili na miesto, kde chceme upraviť $a^{mn}\cdot a^m$ a povedali by sme si: "Aha, tak tu by sa mi hodilo vedieť, ako to funguje, keď násobím dva takéto výrazy. Asi to bude fungovať podobne ako pri umocňovaní reálnych čísel. Poďme to skúsiť dokázať indukciou.
(Bola to úloha 1.7.8(10) - jedna z prednáškových úloh.)
Napíšem sem dôkaz (zhruba rovnaký, ako je ten, čo bol odovzdaný).
Najprv pripomeňme, že $a^n$ je definované induktívne tak, že
$a^0=0 \tag{A}$
$a^{n}=a^{n-1}\cdot a\tag{B}$ pre $n>0$
Ešte pred dôkazom dokážeme ako pomocné tvrdenie tento fakt:
Pozorovanie 1: Pre $a\in R$, $k,l \in \mathbb N\cup\{0\}$ platí
$a^{k+l}=a^k\cdot a^l.\tag{C}$
Dôkaz: Matematickou indukciou vzhľadom na $l$.
$1^\circ$ Báza indukcie: Pre $l=0$ máme
$a^{l+0}=a^l$
$a^l\cdot a^{0} \overset{(A)}=a^l\cdot 1=a^l$.
Teda v tomto prípade tvrdenie platí:
$2^\circ$ Indukčný krok: Máme k dispozícii indukčný predpoklad $a^{k+l}=a^k\cdot a^l$ a snažíme sa dokázať, že tvrdenie platí aj pre $l+1$, t.j. chceme overiť $a^{k+l+1}=a^k\cdot a^{l+1}$
$a^{k+l+1}\overset{(B)}=a^{k+l}\cdot a \overset{IP}= a^k\cdot a^l \cdot a \overset{(A)}= a^k \cdot a^{l+1}.$ $\hspace{2cm}\square$
Teraz už ideme dokázať
$$(a^m)^n=a^{mn}$$
Budeme postupovať indukciou na $n$.
$1^\circ$ Pre $n=0$:
$(a^m)^0 \overset{(A)}=1$
$a^{m0}=a^0 \overset{(A)}=1$
$2^\circ$ Indukčný predpoklad je $(a^m)^n=a^{mn}$, snažíme sa dokázať $(a^m)^{n+1}=a^{m(n+1)}$.
$(a^m)^{n+1} \overset{(B)}= (a^m)^n \cdot a^m \overset{IP}=a^{mn} \cdot a^m \overset{(C)}= a^{mn+n} = a^{m(n+1)}$ $\hspace{2cm}\square$
******
Dôvod, prečo som sa k tomuto príkladu vrátil, je ten, že matematická indukcia je veľmi užitočná dôkazová technika, ktorú je dôležité mať dobre zvládnutú. (Budete ju používať veľmi často.)
V tomto konkrétnom riešení si môžete všimnúť dve veci:
Viac premenných
V oboch častiach, ktoré sme dokazovali, sme mali viacero premenných. Bolo treba vybrať si premennú, vzhľadom na ktorú robím indukciu. (Môžete si rozmyslieť, či by sa dôkaz zmenil, ak by sme ho skúšali robiť indukciou na $m$.)
Ak indukciou dokazujeme tvrdenie o viacerých premenných, niekedy sa dôkaz dá spraviť indukciou bez ohľadu na to, akú premennú vyberiem. Niekedy je výber dôležitý. Niekedy sa hodí zaviesť pomocnú premennú ako napríklad $s=m+n$ alebo $t=\max\{m,n\}$ a dokazovať tvrdenie indukciou vzhľadom na ňu. Takisto sa môže stať, že budeme robiť indukciou dôkaz na dvakrát: Napríklad najprv indukciou na $m$ dokážeme, že tvrdenie platí pre ľubovoľné $m\in\mathbb N$ a pre $n=0$. A potom robíme indukciu na $n$.
Pomocné tvrdenie
Môžete si všimnúť, že sme najprv dokazovali tvrdenie, ktoré v zadaní nebolo.
Na to, že treba dokazovať pomocné tvrdenie by sme prišli, keby sme začali robiť druhú časť, narazili na miesto, kde chceme upraviť $a^{mn}\cdot a^m$ a povedali by sme si: "Aha, tak tu by sa mi hodilo vedieť, ako to funguje, keď násobím dva takéto výrazy. Asi to bude fungovať podobne ako pri umocňovaní reálnych čísel. Poďme to skúsiť dokázať indukciou.