Z prednášky viete, že matice rovnakých rozmerov sú riadkovo ekvivalentné práve vtedy, keď $S_A=S_B$.
Ak sme nejakú maticu $A$ upravili na maticu $B$, ktorá je v redukovanom stupňovitom tvare, tak vieme ľahko overiť aspoň $S_A\subseteq S_B$. To môžeme využiť aspoň na akúsi polovičnú skúšku správnosti.
Ukázali sme si to na konkrétnych príkladoch na cviku. Môžete si to pozrieť aj v týchto poznámkach - poznámka 5.2.18.
Ešte som sa vás pýtal, či by sme nejako vedeli kontrolovať aj rovnosť $S_A=S_B$, ak by sme si pri výpočte redukovaného tvaru poznačili ešte nejaké veci navyše.
(Neskôr budeme vidieť niečo také pri výpočte matice zobrazenia resp. pri výpočte inverznej matice.)
Skúška pri úprave na redukovaný tvar
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Skúška pri úprave na redukovaný tvar
Vrátim sa ešte k tomu, o čom som tu hovoril, ale trochu okľukou.
Hľadanie inverznej matice:
Skúsme najprv, či by sme vedeli vyriešiť takúto úlohu:
Nájdite inverznú maticu k matici $A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}$.
Z prednášky vieme, že inverzná matica je presne matica inverzného zobrazenia.
Súčasne vieme, že zobrazenie prislúchajúce matici $A$ zobrazuje $(1,0,0)\mapsto(2,3,1)$, $(0,1,0)\mapsto(4,3,3)$, $(0,0,1)\mapsto(1,2,1)$.
My chcem inverzné zobrazenie, t.j. chceme aby platilo $(2,3,1)\mapsto(1,0,0)$, $(4,3,3)\mapsto(0,1,0)$, $(1,2,1)\mapsto(0,0,1)$.
Vieme, že inverzné zobrazenie k lineárnemu zobrazeniu je opäť lineárne. Teda sme dostali presne štandardný typ úlohy, ktorý sme sa učili riešiť - nájsť maticu zobrazenia, ak sú zadané obrazy niektorých vektorov.
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
4 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 2 &-1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 2 & 0 & \frac12 &-\frac12 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
0 & 3 &-1 & 2 & -1 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
0 & 0 &-1 & \frac54 & -\frac14 & -\frac32
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac34 & \frac14 & -\frac32 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
0 & 0 & 1 &-\frac54 & \frac14 & \frac32
\end{array}
\right)
$
Zistili sme, že $A^{-1}=
\begin{pmatrix}
\frac34 & \frac14 & -\frac32 \\
\frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
-\frac54& \frac14 & \frac32
\end{pmatrix}$.
Skúška správnosti:
Jeden spôsob, ako urobiť skúšku správnosti je overiť, či naozaj $AA^{-1}=A^{-1}A=I$. (Skontrolovať, či výsledok spĺňa definíciu inverznej matice.)
Na celý postup, ktorý sa však môžeme pozrieť aj trochu inak. Skúsme si uvedomiť, že v každom kroku máme vždy naľavo nejaké lineárne kombinácie riadkov pôvodnej matice a vpravo máme zapísané, aké sú koeficienty týchto lineárnych kombinácií.
Ak si riadky pôvodnej matice označíme ako $\vec r_1$, $\vec r_2$, $\vec r_3$, tak na začiatku máme naozaj v prvom riadku $1\vec r_1+0\vec r_2+0\vec r_3$ a vpravo máme zapísané koeficienty $(1,0,0)$.
Táto vlastnosť sa nepokazí, keď robíme riadkové operácie.
Napríklad po niekoľkých krokoch sme dostali maticu
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)$
To znamená, že v ľavej časti by sme mali mať napísané vektory $-\frac12\vec r_1+\frac12 \vec r_2$, $\frac14\vec r_1-\frac14 \vec r_2+\frac12 \vec r_3$ a $\vec r_3$. (Koeficienty lineárnych kombinácií sme si prečítali z pravej časti.)
A môžeme ľahko overiť, či to naozaj platí.
Toto je úplne super vec, lebo vlastne vidíme, že pri takomto výpočte inverznej matice môžeme skúšku robiť kedykoľvek si zmyslíme. (Pri väčšine vecí, ktoré rátame, vieme skúšku urobiť až na konci, keď sme dostali výsledok.)
Čiže pri počítaní sa môžeme občas zastaviť, skontrolovať, či lineárne kombinácie vychádzajú a ak máme chybu, vrátiť sa. (Je to šikovnejšie ako pri iných typoch príkladov, kde vieme skúšku urobiť až úplne na konci, takže nemôžeme zistiť už v priebehu výpočtu, že niekde musí byť chyba.)
Ako to súvisí s úpravou na RTM:
No a teraz sa vrátim k pôvodnej otázke.
Takže za cenu toho, že počítame niečo navyše (značíme si koeficienty lineárnych kombinácií) by sme aj pri takejto úlohe vedeli robiť skúšku aj priebežne po každom kroku.
******
${}^*$Alebo aj vľavo - ako je komu milšie.
Hľadanie inverznej matice:
Skúsme najprv, či by sme vedeli vyriešiť takúto úlohu:
Nájdite inverznú maticu k matici $A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}$.
Z prednášky vieme, že inverzná matica je presne matica inverzného zobrazenia.
Súčasne vieme, že zobrazenie prislúchajúce matici $A$ zobrazuje $(1,0,0)\mapsto(2,3,1)$, $(0,1,0)\mapsto(4,3,3)$, $(0,0,1)\mapsto(1,2,1)$.
My chcem inverzné zobrazenie, t.j. chceme aby platilo $(2,3,1)\mapsto(1,0,0)$, $(4,3,3)\mapsto(0,1,0)$, $(1,2,1)\mapsto(0,0,1)$.
Vieme, že inverzné zobrazenie k lineárnemu zobrazeniu je opäť lineárne. Teda sme dostali presne štandardný typ úlohy, ktorý sme sa učili riešiť - nájsť maticu zobrazenia, ak sú zadané obrazy niektorých vektorov.
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
4 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 2 &-1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 2 & 0 & \frac12 &-\frac12 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
0 & 3 &-1 & 2 & -1 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
0 & 0 &-1 & \frac54 & -\frac14 & -\frac32
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac34 & \frac14 & -\frac32 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
0 & 0 & 1 &-\frac54 & \frac14 & \frac32
\end{array}
\right)
$
Zistili sme, že $A^{-1}=
\begin{pmatrix}
\frac34 & \frac14 & -\frac32 \\
\frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
-\frac54& \frac14 & \frac32
\end{pmatrix}$.
Skúška správnosti:
Jeden spôsob, ako urobiť skúšku správnosti je overiť, či naozaj $AA^{-1}=A^{-1}A=I$. (Skontrolovať, či výsledok spĺňa definíciu inverznej matice.)
Na celý postup, ktorý sa však môžeme pozrieť aj trochu inak. Skúsme si uvedomiť, že v každom kroku máme vždy naľavo nejaké lineárne kombinácie riadkov pôvodnej matice a vpravo máme zapísané, aké sú koeficienty týchto lineárnych kombinácií.
Ak si riadky pôvodnej matice označíme ako $\vec r_1$, $\vec r_2$, $\vec r_3$, tak na začiatku máme naozaj v prvom riadku $1\vec r_1+0\vec r_2+0\vec r_3$ a vpravo máme zapísané koeficienty $(1,0,0)$.
Táto vlastnosť sa nepokazí, keď robíme riadkové operácie.
Napríklad po niekoľkých krokoch sme dostali maticu
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac14 &-\frac14 & \frac12 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)$
To znamená, že v ľavej časti by sme mali mať napísané vektory $-\frac12\vec r_1+\frac12 \vec r_2$, $\frac14\vec r_1-\frac14 \vec r_2+\frac12 \vec r_3$ a $\vec r_3$. (Koeficienty lineárnych kombinácií sme si prečítali z pravej časti.)
A môžeme ľahko overiť, či to naozaj platí.
Toto je úplne super vec, lebo vlastne vidíme, že pri takomto výpočte inverznej matice môžeme skúšku robiť kedykoľvek si zmyslíme. (Pri väčšine vecí, ktoré rátame, vieme skúšku urobiť až na konci, keď sme dostali výsledok.)
Čiže pri počítaní sa môžeme občas zastaviť, skontrolovať, či lineárne kombinácie vychádzajú a ak máme chybu, vrátiť sa. (Je to šikovnejšie ako pri iných typoch príkladov, kde vieme skúšku urobiť až úplne na konci, takže nemôžeme zistiť už v priebehu výpočtu, že niekde musí byť chyba.)
Ako to súvisí s úpravou na RTM:
No a teraz sa vrátim k pôvodnej otázke.
Presne tú istú vec, ktorú sme robili pri výpočte inverznej matice, by sme mohli robiť pri úprave hocijakej matice na redukovaný stupňovitý tvar. Môžeme si vpravo${}^*$ napísať jednotkovú maticu, robiť úpravy na celej matici a takto budeme mať vždy vpravo poznačené, ako vieme riadky matice v ľavej časti z pôvodnej matice. (V pravej časti si vieme prečítať koeficienty lineárnej kombinácie.)Martin Sleziak wrote:Ešte som sa vás pýtal, či by sme nejako vedeli kontrolovať aj rovnosť $S_A=S_B$, ak by sme si pri výpočte redukovaného tvaru poznačili ešte nejaké veci navyše.
(Neskôr budeme vidieť niečo také pri výpočte matice zobrazenia resp. pri výpočte inverznej matice.)
Takže za cenu toho, že počítame niečo navyše (značíme si koeficienty lineárnych kombinácií) by sme aj pri takejto úlohe vedeli robiť skúšku aj priebežne po každom kroku.
******
${}^*$Alebo aj vľavo - ako je komu milšie.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Skúška pri úprave na redukovaný tvar
Iný pohľad - násobenie maticou:
Ešte sa vrátim trochu k výpočtu inverznej matice. Z prednášky viete, že na každú elementárnu riadkovú operáciu sa môžete pozerať ako na vynásobenie vhodnou maticou zľava. (Kapitola 4.4. v LAG1.)
Takže vlastne ak začneme s maticou $(A|I)$ a postupne robíme nejaké riadkové operácie na ľavej aj pravej časti, tak postupne dostávame
$(A|I)\sim(E_1A|E_1)\sim(E_2E_1A|E_2E_1)\sim\dots\sim(E_n\dots E_2E_1A|E_n\dots E_2E_1)$,
kde $E_i$ označuje maticu prislúchajúcu elemntárnej riadkovej operácii, ktorú sme urobili v $i$-tom kroku.
Ak si označím $B=E_n\dots E_2E_1$ a ak predpokladám, že sme sa dostali do stavu, keď už vľavo vyšla jednotková matica, tak vlastne máme maticu tvaru
$(BA|B)=(I|B)$,
čiže skutočne sme dostali $BA=I$, čo je jedna z podmienok v definícii inverznej matice.
(V skutočnosti sa dá dokázať, že ak $A$ aj $B$ sú štvorcové matice a $BA=I$, tak musí platiť aj $AB=I$. Niečo viac k tomu je tu: viewtopic.php?t=1368 Pre matice, ktoré nie sú štvorcové, takéto tvrdenie neplatí.)
Ešte sa vrátim trochu k výpočtu inverznej matice. Z prednášky viete, že na každú elementárnu riadkovú operáciu sa môžete pozerať ako na vynásobenie vhodnou maticou zľava. (Kapitola 4.4. v LAG1.)
Takže vlastne ak začneme s maticou $(A|I)$ a postupne robíme nejaké riadkové operácie na ľavej aj pravej časti, tak postupne dostávame
$(A|I)\sim(E_1A|E_1)\sim(E_2E_1A|E_2E_1)\sim\dots\sim(E_n\dots E_2E_1A|E_n\dots E_2E_1)$,
kde $E_i$ označuje maticu prislúchajúcu elemntárnej riadkovej operácii, ktorú sme urobili v $i$-tom kroku.
Ak si označím $B=E_n\dots E_2E_1$ a ak predpokladám, že sme sa dostali do stavu, keď už vľavo vyšla jednotková matica, tak vlastne máme maticu tvaru
$(BA|B)=(I|B)$,
čiže skutočne sme dostali $BA=I$, čo je jedna z podmienok v definícii inverznej matice.
(V skutočnosti sa dá dokázať, že ak $A$ aj $B$ sú štvorcové matice a $BA=I$, tak musí platiť aj $AB=I$. Niečo viac k tomu je tu: viewtopic.php?t=1368 Pre matice, ktoré nie sú štvorcové, takéto tvrdenie neplatí.)