Martin Sleziak wrote:Zistite, či v priestore $\mathbb R^4$ vektor $(1,3,-2,5)$ patrí do podpriestoru $S=[(1,1,0,3),(1,-1,2,1),(2,1,1,5),(2,-3,5,1)]$.
Vieme dva štandardné postupy na riešenie takejto úlohy:
Systém lineárnych rovníc
Vlastne sa pýtame, či existujú a, b, c, d také, že $(1,3,-2,5)=a(1,1,0,3)+b(1,-1,2,1)+c(2,1,1,5)+d(2,-3,5,1)$.
To nám dáva takúto sústavu:
$
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
1 &-1 & 1 &-3 & 3 \\
0 & 2 & 1 & 5 &-2 \\
3 & 1 & 5 & 1 & 5
\end{array}
\right)\sim$ $\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 &-2 &-1 &-5 & 2 \\
0 & 2 & 1 & 5 &-2 \\
0 &-2 &-1 &-5 & 2
\end{array}
\right)\sim$ $\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & \frac12 & \frac52 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & \frac32 &-\frac12 & 2 \\
0 & 1 & \frac12 & \frac52 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
$
Vidíme, že jedno riešenie je napríklad $(2,-1,0,0)$. Môžeme skontrolovať, že naozaj platí
$(1,3,-2,5)=2(1,1,0,3)-(1,-1,2,1)$.
(Teda daný vektor patrí do zadaného podpriestoru.)
Riadkové operácie
Môžeme vektory poukladať do riadkov matice a upraviť na redukovaný tvar.
$\begin{pmatrix}
1&1&0&3\\
1&-1&2&1\\
2&1&1&5\\
2&-3&5&1
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim$ $\begin{pmatrix}
1&1&0&3\\
1&-1&2&1\\
2&1&1&5\\
0&-1&1&-1
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1&0&1&2\\
1&0&1&2\\
2&0&2&4\\
0&1&-1&1
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1&0&1&2\\
0&1&-1&1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}
$
(1) Od štvrtého riadku som odpočítal dvojnásobok druhého.
Vieme, že pôvodnej a výslednej matici prislúcha rovnaký podpriestor. Ak máme maticu v redukovanom tvare, ľahko zistíme, či vektor patrí do jej podpriestoru.
Konkrétne sa stačí pozrieť na miesta, kde máme vedúce jednotky. V našom prípade máme
$1\cdot(1,0,1,2)+3\cdot(0,1,-1,1)=(1,3,-2,5)$.
(Teda daný vektor patrí do zadaného podpriestoru.)