msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

1. prednáška: (20.9.)
Po nejakom stručnom historickom úvode sme začali prechádzať jednotlivé axiómy systému ZFC. Stihli sme: axiómu extenzionality, axiómu existencie, axiómu dvojice, axiómu zjednotenia, schému axióm vymedzenia a ich dôsledky.
V texte sme vlastne hovorili hlavne veci z časti 2.3 a skončili sme tesne pred axiómou potenčnej množiny.

2. prednáška (27.9.)
Systém ZFC. Prešli sme ostatné axiómy (potenčná množina, schéma axióm substitúcie, regularita, axióma nekonečnej množiny, axióma výberu). Ukázali sme si, že z axiómy regularity vyplýva $x\notin x$ a že axióma nekonečnej množiny skutočne zaručuje existencie množiny, ktorá má v nejakom zmysle nekonečne veľa prvkov.

Operácie s množinami. Venovali sme nejaký čas definícii zjednotenia a prieniku ľubovoľného systému množín. (Pri prieniku treba, aby bol tento systém neprázdny.) Nerobili sme žiadne dôkazy množinových identít, ale na cviku sme si ukázali ako sa dokazujú tieto veci pre konečne veľa množín (minule) a pre ľubovoľné systémy množín (dnes - aj keď len jeden príklad). Veľa z týchto vecí by ste mali poznať z nižších ročníkov - na domácu úlohu máte nejaké príklady, zopár takýchto dôkazov je aj v texte; počítam s tým, že si nejaké prerátate a ak by boli problémy, tak sa k tomu môžeme vrátiť na konzultáciách. (Hoci sme teda väčšinu z tejto časti preskočili, počítam s tým, že na skúške to budete vedieť.)

Karteziánsky súčin. Usporiadaná dvojica - definícia a základná vlastnosť. Definovali sme karteziánsky súčin - ale nič viac sme už s ním nerobili, základné vlastnosti karteziánskeho súčinu budú na budúcej prednáške (a cviku).

3. prednáška (4.10.):

Karteziánsky súčin. Definícia, základné vlastnosti.

Relácia. Definícia, vlastnosti relácií, relácie ekvivalencie, čiastočné usporiadania. Skladanie relácií a inverzná relácia.

Zobrazenia. Definícia zobrazenia, surjekcie, injekcie, bijekcie. Zloženie zobrazení je zobrazenie. Ak $f$ je zobrazenie z $A$ do $B$, tak $f^{-1}$ je zobrazenie z $B$ do $A$ práve vtedy, keď $f$ je bijekcia.

4. prednáška (11.10)

Funkcie. Preskočili sme tvrdenie 3.2.8. ($g=f^{-1}$ $\Leftrightarrow$ $g\circ f=id_A$ $\land$ $f\circ g=id_B$; rozmyslieť si ho samostatne, alebo ho spravíme nabudúce). Vzor a obraz množiny - povedali sme si definíciu, základné vlastnosti budú na cviku. Zobrazenie $f$ je surjekcia práve vtedy, keď existuje $g$ také, že $f\circ g=id_B$. (Ukázali sme si, kde sa v dôkaze využíva axióma výberu. Analogické tvrdenie pre injekciu ste dostali na rozmyslenie ako nepovinnú domácu úlohu.)

Karteziánsky súčin systému množín a karteziánsky súčin funkcií - túto časť sme preskočili úplne; nebudem ju od vás vyžadovať ani na skúške.

Čiastočné usporiadania. Definícia, príklady. Nasledovník, predchodca, Hasseho diagramy. Monotónne zobrazenie a izomorfizmus. Najväčší a najmenší prvok, maximálny a minimálny prvok. (Ostré čiastočné usporiadanie sme len stručne spomenuli, oplatí sa vám trochu zamyslieť nad vzťahom čiastočného usporiadania a ostrého čiastočného usporiadania.)

Dobre usporiadané množiny. Definícia, veta o indukcii na dobre usporiadaných množinách. Ukázali sme si na príkladoch dva spôsoby, ako môžeme dostať z dvoch dobre usporiadaných množín ďalšiu dobre usporiadanú množinu. (Konkrétne lexikografický súčin a niečo, čo by sa dalo nazvať "súčet" dobre usporiadaných množín.) Tieto veci sme spravili len neformálne, na obrázkoch. K obom operáciám sa vrátime na cviku, na budúci týždeň skúsime poriadne (formálne) dokázať, že lexikografický súčin dobre usporiadaných množín je dobre usporiadaná množina.

Budúci týždeň! Keďže FMFI má budúci týždeň dekanské voľno, tak na prednáške nepôjdem oveľa ďalej než dnes - dokončil by som veci o dobre usporiadaných množinách, prípadne sa môžeme vrátiť k niektorým veciam, čo sme dnes preskočili. Viac času by sme venovali príkladom - čiže si môžete na budúci týždeň nachystať nejaké príklady, ku ktorým sa treba vrátiť. (Ak také sú.)

18.10.

Prednáška. Dokončili sme veci z minula: Porovnanie našej definície inverzného zobrazenia (ako inverznej relácie) s tou, ktorú poznáte z prvého ročníka. Lexikografický súčin dobre usporiadaných množín je dobre usporiadaná množina.

Cviko. Prerátali sme ostatné príklady naplánované na dnes. Ľuďom, čo dnes nemohli prísť sa oplatí na to pozrieť - niektoré veci takéhoto typu máte vyriešené v poznámkach na webe (Tvrdenie 3.2.13 - niektoré časti sú tam s dôkazom, Tvrdenie 3.2.19). Určite sa oplatí pozrieť si veci o vzore a obraze množiny, keďže tie sa objavili aj v zadaní domácich úloh.

6. prednáška (25.10.)

Kardinálne čísla. Zadefinovali sme kardinalitu množiny, kedy majú dve množiny rovnakú kardinalitu, kedy medzi kardinalitami platí nerovnosť. Ukázali sme si základné vlastnosti a tiež sme spravili jeden dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. Zadefinovali sme súčet, súčin a mocninu pre kardinálne čísla. (Nedokazovali sme, že tieto operácie sú dobre definované - to budeme robiť na cviku.)

Nabudúce: Pretože dnes viacero ľudí (všetci z kombinácie MaGe) nemohlo byť na prednáške, nabudúce znovu zopakujem (stručne) základné definície, ktoré dnes boli a urobím ešte jeden dôkaz Cantor-Bernsteinovewj vety. (Ale aj tak si určite treba aspoň trochu pozrieť, to čo sa dnes prebralo.)

7. prednáška (8.11.)
Zopakovali sme základné definície (rovnosť, nerovnosť, operácie s kardinálnymi číslami). Ukázali sme si ešte jeden dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. Ďalej sme stihli prejsť základné vlastnosti sčitovania a násobenia kardinálov.

8. prednáška (15.11.)
Vlastnosti umocňovania kardinálnych čísel. Cantorova veta. Spočítateľné množiny.

9. prednáška (22.11)
Dokončili sme kapitolu o kardinalitách: Ukázali sme si, že $|\mathbb R|=\mathfrak c$. Ako aplikácie kardinality sme si ukázali, že existujú transcendentné čísla (keďže algebraických čísel je najviac spočítateľne veľa) a existujú funkcie $\mathbb N\to\mathbb N$, ktoré nie sú vypočítateľné.