P2 1. úloha - matica zobrazenia

[Martin Sleziak]

Nájdite matice lineárnych zobrazení $f$, $g$, $g\circ f$, ak:$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}\newcommand{\R}{\mathbb R}$
$\Zobr f{\R^3}{\R^2}$ spĺňa $f(1,1,2)=(1,1)$, $f(2,2,3)=(2,3)$, $f(1,0,3)=(3,-1)$;
$\Zobr g{\R^2}{\R^4}$ je dané predpisom $g(x,y)=(x,x-y,x+2y,2x-3y)$.

Maticu zobrazenia $f$ nájdeme štandardným postupom:

$\left(
\begin{array}{ccc|cc}
1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 3 & 2 & 3 \\
1 & 0 & 3 & 3 &-1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 3 & 3 &-1 \\
1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 3 & 2 & 3
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 3 & 3 &-1 \\
0 & 1 &-1 &-2 & 2 \\
2 & 2 & 3 & 2 & 3
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 3 & 3 &-1 \\
0 & 1 &-1 &-2 & 2 \\
2 & 0 & 5 & 6 &-1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 3 & 3 &-1 \\
0 & 1 &-1 &-2 & 2 \\
0 & 0 &-1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 3 & 3 &-1 \\
0 & 1 &-1 &-2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1
\end{array}
\right)
$

Zistili sme, že $M_f=
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1 \\
0 &-1
\end{pmatrix}
$.

Skúšku môžeme urobiť tak, že skontrolujeme, kam sa zobrazia zadané vektory. Napríklad:
$(1,1,2)
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1 \\
0 &-1
\end{pmatrix}=
(1,1)$
(Podobne pre ostatné dva vektory.)

Maticu zobrazenia $g$ vieme vyčítať z predpisu - stačí sa pozrieť na to, ako vyzerajú vektory $g(1,0)$ a $g(0,1)$.

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 &-1 & 2 &-3
\end{pmatrix}$

Pretože platí $M_{g\circ f}=M_f\cdot M_g$, maticu zloženého zobrazenia môžeme vyrátať jednoducho ako súčin týchto matíc.

$
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1 \\
0 &-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 &-1 & 2 &-3
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 7 & 0 \\
-2 &-3 & 0 &-7 \\
0 & 1 &-2 & 3
\end{pmatrix}
$

[Martin Sleziak]

Skúsim sem napísať niečo o chybách, ktoré sa často vyskytovali v riešeniach.

Viac úprav naraz

Zdá sa, že niektorí z vás ste sa snažili pri riadkových operáciách robiť viac úprav naraz a robili ste pri tom chyby. (Niekedy boli chyby skoro v každom kroku.) Možno je rozumnejšie riešiť takéto úlohy pomalšie a nerobiť viac krokov naraz, ak vám to robí problémy. (Resp. na robenie viac úprav naraz si trúfnite až keď budete vidieť, že to viete robiť pomerne spoľahlivo.)

Poradie riadkov v matici zobrazenia

Do matice zobrazenia dávame obrazy vektorov zo štandardnej bázy. Ale je dôležité aj v akom poradí ich tam dávame.

Napríklad ak sme zistili, že $f(1,0,0)=(3,2)$, $f(0,1,0)=(-2,1)$, $f(0,0,1)=(0,-1)$, tak dostaneme
$M_f=
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1 \\
0 &-1
\end{pmatrix}
$
Napríklad matica
$\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
0 &-1 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}
$
obsahuje ako riadky tiež obrazy vektorov zo štandardnej bázy, ale v inom poradí, toto by bola matica iného zobrazenia.
(Takého, ktoré spĺňa $h(1,0,0)=(3,2)$, $h(0,0,1)=(-2,1)$, $f(0,1,0)=(0,-1)$.)

Prekvapivo veľa ľudí spravilo to, že vymenilo riadky v matici $M_g$. (T.j. zostavili ste túto maticu tak, že ste do prvého riadku dávali $g(0,1)$ a do druhého $g(1,0)$. Neviem, či som vám niečo zle vysvetlil alebo či ste sa to niektorí z vás učili spolu a naučili ste sa to takto...?)

Oplatí sa robiť skúšku správnosti

Zjavne veľa z vás si skúšku neurobilo - keďže ste odovzdali písomku s nesprávnym výsledkom. Pritom ste mali pomerne dosť času, väčšina z vás odovzdávala už zhruba po 45 minútach až hodine. Skúšku sme sa učili robiť práve na to, aby ste si vedeli skontrolovať výsledok.