P2 2. úloha - patrí tam vektor?
Posted: Thu Dec 04, 2014 6:07 pm
Úlohu presne takéhoto typu sme mali aj na malej písomke: viewtopic.php?t=536Zistite, či vektor $(1,2,3,1)$ patrí do podpriestoru
$[(1,1,2,2),(1,-1,0,4),(1,3,4,0),(2,1,3,5)]$ priestoru $\mathbb R^4$.
Máme dva štandardné postupy:
Jeden je riešiť sústavu, ktorú dostaneme z
$(1,2,3,1)=a(1,1,2,2)+b(1,-1,0,4)+c(1,3,4,0)+d(2,1,3,5)$.
Ak sústava nemá riešenie, tak tento vektor nepatrí do daného podpriestoru. Ak má riešenie, tak patrí do zadaného podpriestoru.
Riešime teda sústavu
$\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
1 &-1 & 3 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 4 & 3 & 3 \\
2 & 4 & 0 & 5 & 1
\end{array}
\right) \sim$ $
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
0 &-2 & 2 &-1 & 1 \\
0 &-2 & 2 &-1 & 1 \\
0 & 2 &-2 & 1 &-1
\end{array}
\right) \sim$ $
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 2 &-2 & 1 &-1
\end{array}
\right) \sim$ $
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 &-3 & 5 & 0 & 3 \\
0 & 2 &-2 & 1 &-1
\end{array}
\right)
$
Vidíme, že napríklad $a=3$, $b=c=0$, $d=-1$ je riešením sústavy.
Môžeme sa presvedčiť, že naozaj
$3(1,1,2,2)-(2,1,3,5)=(1,2,3,1)$.
Teda vektor patrí do zadaného podpriestoru
(Všimnite si, že v sústave, ktorú sme dostali, vystupovali zadané vektory ako stĺpce.)
*******
Iný postup je dať si vektory ako riadky do matice a riadkovými operáciami ju upraviť na redukovaný stupňovitý tvar.
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
1 &-1 & 0 & 4 \\
1 & 3 & 4 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 5
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 &-1
\end{pmatrix}
$
(Môžeme, ako čiastočnú skúšku správnosti, skontrolovať, či vektory (1,1,2,2), (1,-1,0,4), (1,3,4,0), (2,1,3,5) vieme dostať ako lineárne kombinácie riadkov výslednej matice: viewtopic.php?t=531 )
Teraz sa pozrieme na miesta, kde sú vedúce jednotky - v zadanom vektore sú tam čísla 1 a 2, vidíme, že naozaj:
$(1,2,3,1)=(1,0,1,3)+2(0,1,1,-1)$.
Teda vektor patrí do zadaného podpriestoru
Hádanie
Ako si niekto z vás všimol, pre tieto vektory sa dalo riešenie aj uhádnuť.
Neviem, ako konkrétne to "hádal" človek, ktorý odovzdal takéto riešenie. (V tej istej písomke to však bolo vyriešené aj štandardným postupom.)
Ale dala by sa urobiť napríklad aj takáto úvaha:
Dal by sa vektor $(1,2,3,1)$ dostať ako lineárna kombinácia prvých dvoch vektorov, t.j. $(1,1,2,2)$ a $(1,-1,0,4)$.
Ak urobíme hocijaký násobok prvého vektora, tak dostaneme vektor, kde sa zhodujú prvé dve súradnice.
Pre druhý vektor je rozdiel (druhá súradnica)-(prvá súradníca) rovný $-2$. Ak chcem, aby tento rozdiel bol $1$, musím ho vynásobiť $-\frac12$.
Teraz ešte skúšam, aký nások prvého vektora potrebujem pripočítať, t.j. či viem dostať
$(1,2,3,1)=a(1,1,2,2)-\frac12(1,-1,0,4)$.
Už z prvej súradnice vidíme, že jediná možnosť je $a=\frac32$ a skontrolujeme, že to funguje aj na ostatných súradniciach
$\frac32(1,1,2,2)-\frac12(1,-1,0,4)=(1,2,3,1)$.
Zistili sme, že tento vektor sa dá naozaj napísať ako lineárna kombinácia zadaných vektorov, teda patrí do ich obalu.
(Zdôrazním, že sme mali vlastne iba šťastie, že sa to dalo dostať z dvoch vektorov. Ak by nám to takouto úvahou nevyšlo, zistili by sme iba toľko, že sa to nedá napísať ako lineárna kombinácia prvých dvoch vektorov. Stále by bola šanca, že je to lineárna kombinácia tých ostatných. Aj keď v tomto konkrétnom prípade, keď už sme spravili výpočty urobené v "štandardnom" postupe - tak už vieme, že dimenzia daného priestoru je 2 a z týchto dvoch vektorov vieme dostať aj ostatné.)
Prvé dva vektory som vybral preto, že v odovzdanej písomke to bolo spravené s týmito vektormi.
Pokojne by sme tú istú úvahu mohli spraviť s prvým a posledným vektorom. Keďže v poslednom je rozdiel prvých dvoch súradníc $-1$, tentokrát nedostaneme zlomky:
$(1,2,3,1)=3(1,1,2,2)-(2,1,3,5)$.
Niekto iný si všimol (asi keď začal robiť riadkové úpravy a vyšiel mu hľadaný vektor), že
$(1,2,3,1)=(2,1,3,5)-(1,-1,0,4)$.
Ak sa niekto chce opýtať aj na toto: Ak by mi niekto v písomke napísal iba takéto uhádnuté riešenie a aspoň niečo zmysluplné napísal k tomu, akým spôsobom ho uhádol, bol by som ho ochotný uznať za plný počet.
Ak by to bolo bez zdôvodnenia, tak by bolo skôr prirodzené pýtať sa, či to nie je odniekiaľ odpísané.