P2 bonus - hodnosť s parametrom

[Martin Sleziak]

Aká je hodnosť danej matice v závislosti od hodnoty parametra $c\in\mathbb R$?
$
\begin{pmatrix}
c & -1 & c-2 & -1 \\
c+1 & -1 & -1 & -c \\
1 & c & c & 1
\end{pmatrix}
$

Asi najjednoduchšie bolo rátať s transponovanou maticou.

Teraz už viete, že $h(A^T)=h(A)$. Teda ak ma zaujíma iba hodnosť, tak je jedno, či počítam s transponovanou alebo pôvodnou maticou. Dokonca by som mohol kombinovať riadkové a stĺpcové operácie.
Ak kombinujem oba typy operácií, tak to má nevýhodu, že prichádzam o možnosť "polovičnej skúšky". Ale pri hodnosti s parametrom ako čiastočná skúška snáď poslúži aj to, že si to pre nejaké konkrétne hodnoty $c$ skontrolujem. (Čo aj tak musím robiť, ak som niekde delil výrazom s parametrom.)

$A^T=
\begin{pmatrix}
c & c+1 & 1 \\
-1 & -1 & c \\
c-2 & -1 & c \\
-1 & -c & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & c+1 & 1 \\
-1 & -1 & c \\
c-1 & 0 & 0 \\
-1 & -c & 1
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & c+1 & 1 \\
-1 & -1 & c \\
1 & 0 & 0 \\
-1 & -c & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & c+1 & 1 \\
0 & -1 & c \\
0 & -c & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & c+1 & 1 \\
0 & -1 & c \\
0 & -(c+1) & c+1
\end{pmatrix}\overset{(2)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & c+1 & 1 \\
0 & -1 & c \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & c+2 \\
0 & 0 & c-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & c-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & c-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$

Na mieste označenom (1) som delil $c-1$. Na mieste označenom (2) som delil $c+1$. Preto pre hodnoty $c=\pm1$ musím overiť hodnosť zvlášť.

Keď to naozaj zrátam, tak zistím, že pre $c=-1$ mám hodnosť dva. Pre ostatné $c$ je hodnosť tri.

*****

V tomto konkrétnom príklade sú vcelku schodnou cestou aj riadkové úpravy na pôvodnej matici, aj keď to je asi o čosi komplikovanejšie:
$
\begin{pmatrix}
c & -1 & c-2 & -1 \\
c+1 & -1 & -1 & -c \\
1 & c & c & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & -1 & c-2 & -1 \\
1 & 0 & 1-c & 1-c \\
1 & c & c & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1-c & 1-c \\
0 & -1 & c^2-2 & c^2-c-1 \\
0 & c & 2c-1 & c
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1-c & 1-c \\
0 & -1 & c^2-2 & c^2-c-1 \\
0 & 0 & c^3-1 & c^3-c^2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1-c & 1-c \\
0 & -1 & c^2-2 & c^2-c-1 \\
0 & 0 & (c-1)(c^2+c+1) & (c-1)c^2
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1-c & 1-c \\
0 & -1 & c^2-2 & c^2-c-1 \\
0 & 0 & c^2+c+1 & c^2
\end{pmatrix}
$

[Martin Sleziak]

Bonusový príklad som bodoval o máličko prísnejšie - jednoducho preto, že bol bonusový.

Skúsim sem napísať niečo o chybách, ktoré sa často vyskytovali v riešeniach.

Zaujíma nás aká je hodnosť pre ľubovoľné $c\in\mathbb R$
To, že vyskúšate aká je hodnosť pre pár konkrétnych hodnôt a vždy vám vyšla hodnosť 3, nijako nezaručuje, že hodnosť bude 3 pre každé $c\in\mathbb R$. (Ako vidíte z riešenie, ktoré som uviedol, pre $c=1$ je hodnosť skutočne $0$.)
Aj keď časom, keď budeme vedieť niečo o determinantoch, by ste asi vedeli zdôvodniť, že môžu byť nanajvýš 3 hodnotyparametra $c$, pre ktoré hodnosť nie je 3. A ak by ste náhodou akurát také 3 trafili, tak už máte kompletné riešenie.