(Platí to, čo som už viackrát spomínal: Ak narazíte pri nejakých príkladoch, ktoré budete rátať, na problémy; treba sa pýtať. Buď ma skúste zastihnúť v škole a spýtať sa osobne, alebo sa môžete pýtať tu na fóre.)
Viacerí z vás začali niečo robiť s prvým riadkom. Asi je výhodnejšie využiť najprv druhý alebo tretí riadok, pretože tam už máme vedúcu jednotku bez toho, že by sme museli pracovať s parametrom.V závislosti od hodnoty parametra $a\in\mathbb R$ nájdite riešenie sústavy určenej maticou
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
a+1 & 1 & 1 & a^2+3a \\
1 & a+1 & 1 & a^3+3a^2 \\
1 & 1 & a+1 & a^4+3a^3
\end{array}\right)
$$
Tiež sa oplatí všimnúť si, že na pravej strane každej rovnice môžeme vyňať $(a+3)$. (Zjednoduší nám to počítanie.)
Ja skúsim začať tak, že pripočítam druhý aj tretí riadok k prvému, lebo potom bude prvý riadok "pekný" (=pomerne symetrický).
$
\left(\begin{array}{ccc|c}
a+1 & 1 & 1 & a(a+3)\\
1 & a+1 & 1 & a^2(a+3) \\
1 & 1 & a+1 & a^3(a+3)
\end{array}\right)\overset{(1)}\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
a+3 & a+3 & a+3 & a(1+a+a^2)(a+3)\\
1 & a+1 & 1 & a^2(a+3) \\
1 & 1 & a+1 & a^3(a+3)
\end{array}\right)\overset{(2)}\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & a(1+a+a^2)\\
1 & a+1 & 1 & a^2(a+3) \\
1 & 1 & a+1 & a^3(a+3)
\end{array}\right)\overset{(3)}\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & a(1+a+a^2)\\
0 & a & 0 & a(2a-1) \\
0 & 0 & a & a(a^3+2a^2-a-1)
\end{array}\right)\overset{(4)}\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & a(1+a+a^2)\\
0 & 1 & 0 & 2a-1 \\
0 & 0 & 1 & a^3+2a^2-a-1
\end{array}\right)\overset{(5)}\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 2-a^2\\
0 & 1 & 0 & 2a-1 \\
0 & 0 & 1 & a^3+2a^2-a-1
\end{array}\right)$
Úpravy a pomocné výpočty
(1): K prvému riadku pripočítam druhý a tretí.
(2): Delíme výrazom $(a+3)$; táto úprava (a aj pokračovanie) je teda platná iba pre $a\ne-3$.
(3): Odpočítam prvý riadok od druhého a tretieho. (Táto úprava vyzerá byť výhodná, lebo dostanem v matici veľa núl.)
(4): Druhý aj tretí riadok delím $a$; toto funguje iba pre $a\ne0$.
(5): Odpočítam od prvého riadku druhý a tretí. Na pravej strane dostanem: $(a^3+a^2+a)-(a^3+2a^2-a-1)-(2a-1)=(-a^2+2a+1)-(2a-1)=2-a^2$.
Dostali sme, že pre $a\ne0,3$ je jediným riešením $x_1=2-a^2$, $x_2=2a-1$, $x_3=a^3+2a^2-a-1$.
Skúška správnosti
Azda sa oplatí urobiť aj skúšku.
$(a+1)x_1+x_2+x_3=(a+1)(2-a^2)+(2a-1)+(a^3+2a^2-a-1)=(2+2a-a^2-a^3)+(2a-1)+(a^3+2a^2-a-1)=a^2+3a$
$x_1+(a+1)x_2+x_3=(2-a^2)+(a+1)(2a-1)+(a^3+2a^2-a-1)=(2-a^2)+(2a^2+a-1)+(a^3+2a^2-a-1)=a^3+3a^2$
$x_1+x_2+(a+1)x_3=(2-a^2)+(2a-1)+(a+1)(a^3+2a^2-a-1)=(2-a^2)+(2a-1)+(a^4+3a^3+a^2-2a-1)=a^4+3a^3$
Ak sme v časovom strese a nemáme čas robiť úplnú skúšku, tak môžeme aspoň vyskúšať, či riešenie vyhovuje pre nejakú voľbu $a$. Je šanca, že ak máme v riešení chybu, ak vyskúšame niekoľko hodnôt, tak chybu odhalíme.
Napríklad pre $a=-1$ máme $x_1=1$, $x_2=-3$, $x_3=1$, čo skutočne vyhovuje sústave
$\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 1 & -2 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0 & -2
\end{array}\right)
$
Podobne môžeme vyskúšať pár ďalších reálnych čísel.
Ostatné prípady
Treba dať pozor na to, že riešenie nie je hotové -- úpravy, ktoré sme robili sú platné iba pre $a\in\mathbb R\setminus\{0,-3\}$. Pre tieto hodnoty sme zistili, že sústava má jediné riešenie a aj sme ho vyjadrili. Potrebujeme však zistiť aj to, ako vyzerajú riešenia sústavy pre $a=0$ resp. pre $a=-3$.
(Môžeme si všimnúť, že keď sme rátali skúšku správnosti, tak sme nikde nepoužili predpoklad $a\ne0,-3$. Teda aj pre ostatné hodnoty parametra náš výsledok dáva riešenie sústavy. Zatiaľ však nevieme, či to riešenie bude jediné, alebo bude aj viacero riešení.)
Dosadíme teda zostávajúce hodnoty parametra do pôvodnej sústavy. Potom už vlastne riešime iba sústavu s číslami - bez parametra.
Nemuseli by sme dosadzovať do pôvodnej matice. Mohli by sme dosadiť do niektorej z upravených matíc predtým než sme prvýkrát delili $(a+3)$ resp. prvýkrát delili $a$. Skúsme pre istotu porovnať oba postupy - do istej miery tým robíme kontrolu. (Ak sme niekde spravili chybu, tak je nejaká šanca, že na ňu pritom narazíme.)
Riešenia pre $a=-3$
Ak dosadzujeme do pôvodnej sústavy, tak máme
$\left(\begin{array}{ccc|c}
a+1 & 1 & 1 & a^2+3a \\
1 & a+1 & 1 & a^3+3a^2 \\
1 & 1 & a+1 & a^4+3a^3
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc|c}
-2 & 1 & 1 & 0 \\
1 &-2 & 1 & 0 \\
1 & 1 &-2 & 0
\end{array}\right)
$
Riešením tejto sústavy dostaneme
$\left(\begin{array}{ccc|c}
-2 & 1 & 1 & 0 \\
1 &-2 & 1 & 0 \\
1 & 1 &-2 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 &-2 & 0 \\
1 &-2 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 &-2 & 0 \\
0 &-3 & 3 & 0 \\
0 & 3 &-3 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 &-2 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$
Z poslednej matice už vieme vyčítať, že $x_1=x_3$, $x_2=x_3$. Ak zvolíme tretiu premennú za parameter $x_3=t$, tak dostaneme množinu riešení $\{(t,t,t); t\in\mathbb R\}=[(1,1,1)]$.
(Pretože nám vyšiel homogénny systém, množina riešení tvorí podpriestor priestoru $\mathbb R^3$. To nám umožňuje množinu riešení v tomto konkrétnom prípade zapísať aj stručnejšie - ako lineárny obal jedného vektora.)
Ak by sme dosadili do matice tesne predtým, že sme prvýkrát delili výrazom $(a+3)$, mali by sme dostať to isté riešenie (ak sme sa v úpravách uvedených vyššie nepomýlili.) Skúsme teda.
$\left(\begin{array}{ccc|c}
a+3 & a+3 & a+3 & a(1+a+a^2)(a+3)\\
1 & a+1 & 1 & a^2(a+3) \\
1 & 1 & a+1 & a^3(a+3)
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 0 & 0 & 0\\
1 &-2 & 1 & 0 \\
1 & 1 &-2 & 0
\end{array}\right)$
Ľahko skontrolujeme, že dostaneme presne rovnaké riešenie - sú to skoro tie isté úpravy ako pred chvíľou.
Pre $a=0$
Ak dosadzujeme do pôvodnej sústavy, tak máme
$\left(\begin{array}{ccc|c}
a+1 & 1 & 1 & a^2+3a \\
1 & a+1 & 1 & a^3+3a^2 \\
1 & 1 & a+1 & a^4+3a^3
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)$
Riešením dostaneme
$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$
Za parametre teda môžeme voliť $x_2$ a $x_3$. Dostaneme $x_2=s$, $x_3=t$, $x_1=-s-t$.
Množina riešení je $\{(-s-t,s,t); s,t\in\mathbb R\}=[(-1,1,0),(-1,0,1)]$.
(Pretože nám vyšiel homogénny systém, množina riešení tvorí podpriestor priestoru $\mathbb R^3$.)
Skúsme dosadzovať nie do pôvodnej sústavy ale do sústavy pred úpravou, kde sme delili parametrom $a$:
$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & a(1+a+a^2)\\
0 & a & 0 & a(2a-1) \\
0 & 0 & a & a(a^3+2a^2-a-1)
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$
Vidíme, že vyšla rovnaká sústava (a teda rovnaká množina riešení), ako keď sme dosadili do zadanej matice. (Ak by to tak nebolo, museli by sme niekde hľadať chybu.)
Množina riešení
Skúsme ešte nejako prehľadne zapísať výsledok:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{parameter} & \text{množina riešení} \\\hline
a\in\mathbb R\setminus\{0,-3\} & \{(2-a^2, 2a-1, a^3+2a^2-a-1)\} \\\hline
a=0 & \{(-s-t,s,t); s,t\in\mathbb R\}=[(-1,1,0),(-1,0,1)] \\\hline
a=-3 & \{(t,t,t); t\in\mathbb R\}=[(1,1,1)] \\\hline
\end{array}
$
Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach
Niektorí ste si neuvedomili, že ak delíme výrazmi ako $a$ alebo $(a+3)$, tak je to prípustné, iba ak daný výraz nie je nula. Zostanú teda nejaké hodnoty parametra, ktoré treba vyšetriť zvlášť.
Viacerí ste síce vypočítali nejaké riešenia, ktoré nefungovali pre $a=0$ a $a=-3$. Vôbec ste sa nezaoberali tým, čo sa stane pre tieto hodnoty.
Niektorí ste síce rátali riešenie pre $a=0$ alebo $a=-3$, ale dosadzovali ste do matice, ktorú ste dostali až po vydelení výrazom s parametrom.