Báza súčtu podpriestorov
Posted: Wed Jan 14, 2015 7:12 pm
Príklad 2.5.7(3) bola jedna z prednáškových úloh, takže tú by ste mohli mať v poznámkach. Skúsme si ale povedať, ako príklady takého typu riešiť a skúsme sa pozrieť aj nejaké konkrétne príklady.Chcem sa opýtať, lebo mi nie je jasné, ako sa hľadá báza lineárneho súčtu dvoch podpriestorov.
LAG I. 2.5.7 (3)
Povedzme teda, že máme úlohu takého typu, že máme dva podpriestory S a T zadané pomocou vektorov, ktoré ich generujú.
Ak $S=[\vec x_1,\dots,\vec x_k]$ a $T=[\vec y_1,\dots,\vec x_l]$, tak vieme, že $S+T=[\vec x_1,\dots,\vec x_k,\vec y_1,\dots,\vec x_l]$.
Teda je to vlastne úloha štandardného typu - máme dané nejaké vektory, chceme bázu ich lineárneho obalu.
Príklad
Nech napríklad $S=[(1,-1,2),(1,1,1),(2,4,1)]$, $T=[(2,1,1),(1,1,3),(3,1,-1)]$ sú podpriestory $\mathbb R^3$, zaujíma nás báza a dimenzia $S+T$.
Vlastne by nám stačilo zobrať týchto 6 vektorov, dať do matice a upraviť na RTM. Poďme to však spraviť najprv zvlášť pre $S$ a zvlášť pre $T$, lebo sa chceme zamyslieť aj nad tým, či by sme vedeli zrátať aj nejaké iné veci.
Pre S úpravou na RTM zistíme, že $S=[(1,0,\frac32),(0,1,-\frac12)]$.
Na chvíľu sa zastavme na tomto mieste. Zistili sme, že $\dim S=2$. Súčasne ale $S\subseteq S+T\subseteq \mathbb R^3$, čo znamená, že $S+T$ môže mať iba dimenziu 2 (a v tom prípade sa rovná priestoru $S$) alebo dimenziu 3.
Stačí ním teda vyskúšať, či vektory generujúce $T$ patria do $S$. (Čo vieme urobiť ľahko.) Ak áno, tak $S=T=S+T$. Ak nie, tak $S+T=\mathbb R^3$. V našom prípade zistíme, že $(2,1,1)\notin S$, a teda už vieme, že $S+T=\mathbb R^3$.
Takúto úvahu sme mohli urobiť iba vďaka tomu, že zhodou okolností mal podpriestor $S$ kodimenziu 1. Je fajn, že teda už vieme, čo máme dostať; skúsme sa pozrieť na to, či nám to vyjde aj štandadným spôsobom.
Pre T opäť úpravou na RTM dostaneme $T=[(1,0,-2),(0,1,5)]$.
A pre ich súčet máme $S+T=[(1,0,\frac32),(0,1,-\frac12),(1,0,-2),(0,1,5)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=\mathbb R^3$.
Pôvodnú úlohu máme teda vyriešenú - našli sme bázu a dimenziu $S+T$.
Zistili sme však aj niečo navyše. Vieme, že $\dim S= \dim T=2$ a $\dim(S+T)=3$. Z Grassmanovej formuly nám potom vyjde $\dim(S\cap T)=1$.
Doplnková úloha: Vedeli by ste nájsť aj bázu $S\cap T$? (Už viete, že má pozostávať z jediného vektora.)