Treba si uvedomiť, že vlastne sa pýtame na to, koľko vektorov nepatrí do $\operatorname{Im} f$, kde $f$ je zobrazenie $(x,y,z)\mapsto (x,y,z)A^T$.Nech $A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$ je matica nad $\mathbb Z_5$. Zistite, pre koľko vektorov $\gamma\in V_3(\mathbb Z_5)=\mathbb Z_5^3$ rovnica $(x,y,z)A^T=\gamma$ nemá žiadne riešenie.
(Rozmyslite si prečo.)
Poďme rátať koľko vektorov tam patrí a potom nám stačí odrátať ich počet od všetkých vektorov v $\mathbb Z_5^3$. (Tých je $5^3$.)
Na to máme viacero možností. Môžeme priamo nájsť bázu (a teda dimenziu) podpriestoru $\operatorname{Im} f$. To vlastne znamená upraviť maticu $A^T$ na redukovaný trojuholníkový tvar. Riadky výslednej matice tvoria bázu $\operatorname{Im} f$.
Mne vyšla dimenzia 2; skúste si to prerátať.
Koľko vektorov potom patrí do $\operatorname{Im} f$? (A prečo je to tak?)
Alebo môžeme naopak rátať dimenziu $\operatorname{Ker} f$. (Vieme, aký je vzťah medzi dimenziou jadra o obrazu.)
Do $\operatorname{Ker} f$ patria presne tie vektory, pre ktoré $A\vec x=\vec 0$. Teda vlastne riešime sústavu, ktorej maticou je matica $A$.
Všimnime si, že v oboch prípadoch dostaneme rovnaký výsledok.
Pri prvom uvedenom postupe dostaneme $\dim\operatorname{Im} f=h(A^T)$.
Pri druhom postupe dostaneme $\dim\operatorname{Ker} f=3-h(A)$. (Dimenzia priestoru riešení homogénneho systému je počet neznámych mínus hodnosť.) A teda $\dim\operatorname{Im} f=3-\dim\operatorname{Ker} f=h(A)$.