msleziak.com

Sem budem priebežne písať, čo sme stihli na jednotlivých prednáškach. Občas pridám aj nejaké linky na veci týkajúce sa toho, čo sme práve prebrali.

Toto vlákno by som chcel rezervovať naozaj iba na to, že tu budem písať obsah prednášok. Keď budete chcieť na fórum napísať nejakú vec k nejakej konkrétnej veci, ktorá bola na prednáške, založte na to nový topic.

1. prednáška (19.2.):
Na začiatku som nejako dosť dlho kecal o ZFC a o tom, čo znamená axiomatická a naivná teória množín. Ani nie tak kvôli tomu, že by bolo pre nás na tejto prednáške až tak podstatné detailne poznať všetky axiómy ZFC. Skôr preto, že viackrát na tejto prednáške sa stretneme s poznámkou typu: "Tento výsledok sa nedá dokázať v ZF." Alebo: "Na dôkaz tohoto výsledku je potrebná aspoň nejaká forma axiómy výberu.". Tak som chcel, aby bolo aspoň zhruba jasné, čo sa tým myslí.

Potom sme sa ešte trochu pozreli na dobre usporiadané množiny. Stihli sme definíciu, vetu o indukcii na dobre usporiadaných množinách a pár príkladov dobre usporiadaných množín. (Z toho, čo je v texte na stránke som stihol iba "súčet" dobre usporiadaných množín, nerobil som lexikografický súčin.)

2. prednáška (24.2.):
Ekvivalenty axiómy výberu. Najprv sme prešli viacero podmienok, o ktorých je jednoduché ukázať, že sú ekvivalentné s axiómou výberu. (Existencia selektora, jednostranný inverz k surjekcii, karteziánsky súčin je neprázdny.)
Potom sme sformulovali viacero ďalších ekvivalentných tvrdení, ktoré sú tiež ekvivalentné s axiómou výberu, ale tu už budú dôkazy náročnejšie. Konkrétne sú to princíp dobrého usporiadania, Zornova lema a princíp maximality. (Princípom maximality sa však nebudeme veľmi zaoberať.)
Zatiaľ sme ukázali, že z WO vyplýva AC. (To bol vcelku ľahký dôkaz.) Náročnejší dôkaz bol, že zo ZL vyplýva WO.

3. prednáška (3.3.):
Ešte som sa vrátil k tomu, ako je to s AC, WO, ZL pre prázdnu množinu. (Poučenie, ktoré si treba odniesť: Pri používaní Zornovej lemy si treba dať pozor aj na to, či je neprázdna. Inými slovami, či aj prázdny reťazec má horné ohraničenie.)
Aplikácie Zornovej lemy. Ukázali sme si implikácie ZL $\Rightarrow$ AC a ZL $\Rightarrow$ PM. (K implikácii AC $\Rightarrow$ ZL sa vrátime neskôr, keď sa budeme učiť o transfinitnej indukcii.)
Dokázali sme Alexandrovu vetu o subbáze. (Nabudúce by som sa k nej vrátil a ukázal, ako z nej vyplýva Tichonovova veta.)

Z doterajších dôkazov už by sme mohli mať zhruba predstavu o tom ako používať Zornovu lemu:

• Istú intuíciu o tom, že sa môže hodiť Zornova lema, dáva ak vieme nejaký objekt postupne konštruovať - chceli by sme robiť niečo indukciou, ale máme nekonečne veľa prvkov. (Toto môže byť aj indikácia toho, že sa môže hodiť transfinitná indukcia, ktorú sa budeme učiť neskôr.)
• Často tam robíme akési aproximácie objektu, ktorého existenciu chceme dokázať; a tie potom chceme nejako "spojiť" do kopy.
• Typicky (vo väčšine dôkazov založených na ZL) bude čiastočné usporiadanie inklúzia a horné ohraničenie reťazca dostaneme tak, že tento reťazec jednoducho zjednotíme.

Dám tu ešte linky na dva články z blogu Tima Gowersa, ktoré sa týkajú zhruba toho, kedy sa dá použiť ZL.

• How to use Zorn's Lemma: blog, tricki
• Just-do-it proofs: blog, tricki

10.3. - prednáška nebola

4. prednáška (17.3.):
Tichonovova veta - dôkaz pomocou Alexandrovej vety o subbáze. Už sme nerobili ďalšie aplikácie Zornovej lemy - dajú sa však nájsť v texte k prednáške, zopár som vymenoval aj tu: viewtopic.php?t=620
Spojitosť a sekvenciálna spojitosť.
Existencia nemerateľnej množiny. (Vitaliho konštrukcia.) Banach-Tarskiho paradox.

24.3. - prednáška nebola