Ako vieme, že ℵ1 existuje?
Posted: Tue Feb 24, 2015 8:12 pm
Na minulej prednáške som spomínal hypotézu kontinua. Sformuloval som ju dvoma spôsobmi, ten stručnejší bol rovnosť ℵ1=2ℵ0.
Kardinál ℵ1 je najmenší nespočítateľný kardinál.
Dnes padla otázka, odkiaľ vieme, že vôbec taký kardinál existuje. Platí, že každá množina kardinálov je dobre usporiadaná, a teda má najmenší prvok. (Tento výsledok je užitočný aj inde, nielen na to, že existuje ℵ1.) Dôkaz tohto faktu ste však zatiaľ pravdepodobne nemali. Dúfam, že keď sa budeme zaoberať ordinálnymi číslami, tak sa nájde čas aj na to, aby som niečo povedal o tom, ako sa definujú kardinály. Keď už budeme mať nejaké vedomosti o ordinálnych číslach a budeme vedieť, že kardinálne čísla sú podtrieda ordinálnych čísel, tak tento fakt z toho vyjde ako dôsledok.
Každopádne sem pridám ešte jednu linku, kde si v prípade záujmu môžete niečo o tom prečítať: How do we know an ℵ1 exists at all?
Kardinál ℵ1 je najmenší nespočítateľný kardinál.
Dnes padla otázka, odkiaľ vieme, že vôbec taký kardinál existuje. Platí, že každá množina kardinálov je dobre usporiadaná, a teda má najmenší prvok. (Tento výsledok je užitočný aj inde, nielen na to, že existuje ℵ1.) Dôkaz tohto faktu ste však zatiaľ pravdepodobne nemali. Dúfam, že keď sa budeme zaoberať ordinálnymi číslami, tak sa nájde čas aj na to, aby som niečo povedal o tom, ako sa definujú kardinály. Keď už budeme mať nejaké vedomosti o ordinálnych číslach a budeme vedieť, že kardinálne čísla sú podtrieda ordinálnych čísel, tak tento fakt z toho vyjde ako dôsledok.
Každopádne sem pridám ešte jednu linku, kde si v prípade záujmu môžete niečo o tom prečítať: How do we know an ℵ1 exists at all?